Робота 1.1. Вивчення законів збереження енергії та імпульсу за зіткнення куль Теоретична довідка

Рухаючись, тіла часто зіткаються одне з одним. При зіткненні обидва тіла де­фор­муються, при цьому та кінетична енергія, що її мали тіла до зіткнення, частково або пов­ністю переходить у потенціальну енергію пружньої деформації і внутрішню енергію тіл. Розрізняють два граничні види удару – абсолютно пружній і абсолютно не­пруж­ній.

Розглянемо ці процеси на прикладі пружнього та непружнього зіткнення в одновимірному просторі. Це значно спростить математичні викладки, не змінюючи суті. Спрощення стосується швидкості, яка в одновимірному просторі є скаляр. Зви­чай­но, в загальному випадку швидкість – це вектор.

Рис. 1.1.

При абсолютно непружному ударі одне тіло прилипає до іншого. При цьому потенціальна енергія деформації не виникає; кінетична енергія повністю або частково перетворюється у внутрішню енергію; після зіткнення обидва тіла рухаються з однаковою швидкістю.

Припустимо, два тіла з масами m₁ і m₂ рухаються назустріч одне одному (рис. 1.1) із швидкостями v₁ і v₂, відповідно. Після непруж­нього зіткнення вони утво­рюють одне тіло масою m₁ + m₂, яке рухається із швидкістю v. Із закону збереження імпульсу:

m1v1 — m2v2 = (m1 + m2)v.

(1)

Звідси знаходимо швидкість тіл після зіт­кнен­ня:

v = (m1v1 — m2v2)/(m1 + m2).

(2)

При непружньому зіткненні має місце лише закон збереження імпульсу. Механічна енергія при цьому не зберігається. Дійсно, повна механічна енергія системи перед зіткненням дорівнює сумі кінетичних енергій кожного з тіл:

EПОЧ .

(3)

Механічна енергія після зіткнення визначається як

EКІНЦ

(4)

При написанні другої рівності в формулі (4) ми скористалися спів­від­но­шен­ням (2). Відновлення механічної енергії зручно характеризувати за допо­мо­гою коефіцієнту К, який визначається як відношення Е_КІНЦ/Е_ПОЧ. Прий­ма­ючи до уваги (3), (4), отримуємо

.

(5)

Формула (5) вказує на те, що коефіцієнт відновлення механічної енергії при непружньому ударі завжди менше одиниці. У випадку, коли одне з тіл, скажімо, перше, до зіткнення було нерухомим (тобто v₁ = 0), К ви­значається лише спів­від­но­шенням мас тіл:

(6)

У випадку рівних мас (m₁ = m₂) та ненульових початкових швидкостей:

(6а)

Рис. 1.2.

і залежить тільки від початкових швидкостей.

Абсолютно пружнім називають удар, при якому механічна енергія системи збе­рі­гається. При пружньому зіткненні тіла спочатку деформуються і їх кінетична енергія переходить у потенціальну енергію пруж­ньої деформації. Потім тіла відновлюють свою форму і відштовхуються одне від одного, при цьому енергія пружньої де­фор­мації знов переходить у кінетичну. Рух тіл після пружнього зіткнення визначається законами збереження імпульсу та кінетичної енергії. Розглянемо цен­траль­не зіткнення двох тіл, що рухаються на­зу­стріч одне одному із швидкостями v₁₀ і v₂₀ (Рис. 1.2). Якщо тіла рухаються тільки по­ступально і не обертаються, то рівняння збе­реження енергії та імпульсу мають вигляд:

.	(7)
.	(8)

де v₁ і v₂ — швидкості тіл після зіткнення і вважається, що після зіткнення ті­ла рухаються вздовж тієї ж прямої, що і перед зіткненням. Перепишемо рівняння (7), (8) у такому вигляді:

,	(7а)
.		(8а)

Порівнюючи (7а) та (8а), приходимо до висновку, що

(9)

З (8а) та (9) легко визначити швидкості обох тіл після зіткнення:

(10)

У випадку, коли перше тіло до зіткнення перебувало у стані спокою (v₁₀ = 0), формула (10) приймає вигляд:

(11)

Формула (11) вказує на те, що при рівних масах (m₁ = m₂) тіла після зіткнення обмінюються швидкостями, тобто після зіткнення друге тіло зупиняється, а перше тіло рухається із швидкістю v₂₀, яку мало друге тіло до зіткнення. Чим більша різниця між масами тіл, тим менша швидкість першого і більша швидкість другого тіла після зіткнення.

Поміркуйте

1. Забивати цвяхи — справа нелегка. Куди зникає та енергія, яку ви витрачаєте на цей процес?

2. Що відбувається з імпульсом та енергією ракетки при ударі по тенісному м’ячу? Чи може ракетка теж відлетіти (якщо її слабо тримати)? В який бік? Чому?

Література

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — М.: Наука, 1979, п.п. 22, 24-26, 28.

2. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975, гл. III, п.п. 24, 25; гл. IV, п.п. 28-37.

Мета: на прикладі зіткнення куль перевірити закони збереження; розрахувати коефіцієнт розсіювання енергії та співвідношення мас куль.

Устаткування:

Рис. 1.3.

експериментальна установка, до якої кріпляться кулі; набір куль з різними масами та з різних матеріалів; шкали, електроний секундомір, терези.

Теоретичні основи експерименту

Експериментальну установку зображено на рис. 1.3. Дві кулі, 1 і 2, підвішено до стояка на струмо­провідних нитках довжини l. У нижній частині стояка розміщено дві шкали 3 та 4, за допомогою яких вимірюють відхилення куль від поло­жен­ня рівноваги.

На початку експерименту куля 1 зна­хо­диться у рівно­вазі, а кулю 2 відхиляють на кут  від верти­кальної осі і фіксують за допомогою електромагніта 5. Після вимикання електро­маг­ніта куля 2 починає руха­тись (початкова швидкість кулі дорівнює нулю). Швидкість ру­ху кулі 2 перед зіткненням визна­ча­ють за початковим кутом відхилення , виходячи з закону збереження механічної енергії .

(12)

де h — висота, на яку кулю було піднято, g — прискорення вільного падін­ня, v₂₀ — швидкість кулі 2 в точці рівноваги. Із геометричних міркувань:

.

(13)

Таким чином, якщо максимальний кут відхилення кулі дорівнює , то її швидкість в точці рівноваги визначається за формулою

.

(14)

Аналогічно, вимірявши кут відхилення кулі 1, можемо знайти її швид­кість v₂₀ одразу після зіткнення.

У теоретичній довідці ми розглянули два граничні випадки абсолютно пружнього та абсолютно непружнього зіткнення. В реальних експериментах під час зіткнення енергія частково розсіюється. В даній роботі вимірюється коефіцієнт розсіяння енергії , який визначається як відношення втрати енергії під час зіткнення до початкової енергії:

 = (EПОЧ — EКІНЦ)/EПОЧ .

(15)

Розглянемо випадок, коли перша куля до зіткнення перебуває у спо­кою (v₂₀ = 0). Тоді закони збереження енергії та імпульсу (7), (8) з ура­ху­ван­ням (15) будуть мати вигляд

;	(16)
	(17)

(в формулі (17) підставлено модулі швидкостей!).

Експериментальна установка дозволяє виміряти швидкості v₂₀ та v₁. Отже, виключаючи із рівнянь (16), (17) v₂ можна знайти коефіцієнт . Приоднакових кулях:

(18)

З іншого боку, за відомого коефіцієнта  з рівнянь (16), (17) можна знайти відношення мас куль, що зіткаються. Дійсно, розв’язуючи ці рів­нян­ня відносно v₂, m₁/m₂ отримуємо:

.

(19)