Тема 11. Корреляционный анализ

1. Понятие корреляционных и функциональных связей. Методы статистического анализа и моделирования связи.

2. Однофакторный корреляционно-регрессионный анализ.

3. Статистическая оценка взаимосвязи между качественными признака с помощью непараметрических методов.

Вопросы для самостоятельного изучения:

- основные предпосылки применения корреляционно-регрессионного анализа;

- простейшие приемы установления связи между признаками;

- многофакторный корреляционно-регрессионный анализ.

Вопрос 1.

Изучение статистических закономерностей – важнейшая задача статистики, которую она решает с помощью особых методов, видоизменяющихся в зависимости от характера исходной информации и целей познания. Знание характера и силы связи позволяет управлять социально-экономическими процессами и предсказывать их развитие. Особую актуальность это приобретает в условиях развивающейся экономики. Изучение механизма рыночных связей, взаимодействия спроса и предложения, влияния объема и структуры товарооборота на объем и состав производства продукции, формирования товарных запасов, издержек производства, прибыли и других качественных показателей имеет первостепенное значение для прогнозирования конъюнктуры рынка, региональной организации производственных и торговых процессов, успешного ведения бизнеса.

Среди многих форм связей важнейшей является причинная, определяющая все другие формы. Сущность причинности состоит в порождении одного явления другим. Вместе с тем, причина сама по себе еще не определяет следствия, она зависит также от условий, вы которых протекает действие причины. Для возникновения следствия нужны все определяющие его факторы – причина и условие. Необходимая обусловленность явлений множеством факторов называется детерминизмом.

Объектами исследования при статистическом измерении связей служит, как правило, детерминированность следствия факторами (причиной и условиями). Признак, характеризующий следствие, называется результативным; признаки, характеризующие причины, - факторными. Выявление связей между признаками основывается на результатах качественного теоретического анализа. Задача статистики – количественная оценка закономерности связей, математическая определенность позволяет использовать результаты экономических разработок для практических целей. Вместе с тем, качественный анализ должен не только предшествовать статистическому, но и являться подтверждением справедливости его результатов.

Между разными явлениями и их признаками необходимо прежде всего выделить два типа связей: функциональную (жестко детерминированную) и стохастическую (стохастически детерминированную).

Связь признака у с признаком х называется функциональной, ели каждому возможному значению независимого признака х соответствует одно или несколько строго определенных значений зависимого признака у.

Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известен полный перечень факторов, определяющих значение зависимого (результативного) признака, а также точный механизм их влияния, выраженный определенным уравнением.

Функциональную связь можно представить следующим уравнением:

, (1)

где у_i – результативный признак;

f(x_i) – известная функция связи результативного и факторного признаков;

х_i – факторный признак.

Примером функциональной связи может служить связь между оплатой труда у и количеством изготовленных деталей х при простой сдельной оплате труда. Например, если расценка за одну деталь составляет 3 тыс. рублей, то связь между признаками однозначно выразится простым линейны уравнением у = 3х. Для каждого допустимого значения х можно указать вполне определенное значение у. Если, предположим, х = 5, то соответственно у = 15.

Стохастическая связь – это связь между величинами, при которой одна из них, случайная величина у, реагирует на изменение другой величины х или других величин х₁, х₂, х₃ и т.д. (случайных или неслучайных) изменением закона распределения. Это обуславливается тем, что зависимая переменная (результативный признак), кроме рассматриваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также некоторых неизбежных ошибок измерения переменных. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.

Характерной особенностью стохастических связей является то, что они проявляются во всей совокупности, а не в каждой ее единице (причем не известен полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, ни точный механизм их функционирования и взаимодействия с результативным признаком). Всегда имеет место влияние случайного.

Модель стохастической связи может быть представлена в общем виде следующим уравнением:

, (2)

где - расчетное значение результативного признака;

f(x_i) – часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (одного или множества), находящихся в стохастической связи с признаком-результатом;

- часть результативного признака, возникшая вследствие действия неконтролируемых или неучтенных факторов, а также измерения признаков неизбежно сопровождающегося некоторыми случайными ошибками.

Например, уровень производительности труда рабочих стохастически связан с целым комплексом факторов: квалификацией, стажем работы, уровнем механизации или автоматизации производства, интенсивностью труда, простоями и т.д. Полный перечень факторов неизвестен.

Появление стохастических связей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайности взаимопогасятся и зависимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо.

Если ограничится рассмотрением только одного аспекта стохастической связи – изучение вместо условных распределений лишь одного их параметра - условного математического ожидания (среднего значения случайной величины результативного признака), то мы будем исследовать корреляционную или регрессионную связь как частные случаи стохастической связи.

Корреляционная связь существует там, где взаимосвязанные явления характеризуются только случайными величинами. При такой связи среднее значение (математическое ожидание) случайной величины результативного признака у закономерно изменяется в зависимости от изменения другой величины х или других случайных величин х₁, х₂, х₃ и т.д. Корреляционная связь проявляется не в каждом отдельном случае, а во всей совокупности в целом. Только при большом количестве случаев каждому значению случайного признака будет соответствовать распределение средних значений случайного признака у. Таким образом, корреляционная связь является частным случаем стохастической связи.

Кроме того, связи между различными явлениями и их признаками можно классифицировать по следующим признакам.

В зависимости от направленности выделяют прямые и обратные связи.

Прямая связь имеет место тогда, когда направление изменения результативного признака совпадает с изменением направления признака-фактора, т.е. с увеличением факторного признака увеличивается признак результат, и, наоборот, с уменьшением факторного признака уменьшается и результативный признак. Например, чем выше квалификация рабочего (разряд), тем выше уровень производительности труда.

Обратная связь имеет место тогда, когда с увеличением факторного признака признак результат уменьшается, или когда с уменьшение значения факторного признак признак-результат увеличивается. Например, чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции.

В зависимости от аналитической формы выделяют прямолинейные и криволинейные связи.

Прямолинейные (линейные) связи проявляются тогда, когда с увеличением значения признака-фактора происходит возрастание или уменьшение величины признака-следствия. Математически такая связь выражается уравнением прямой линии:

, (3)

где – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a₀, a₁ – коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

х – значение признака-фактора.

При криволинейной связи возрастание величины факторного признака оказывает неравномерное влияние на величину результирующего признака. Вначале эта связь может быть прямой, а затем - обратной. Математически такая связь может выражаться рядом функций, например уравнением параболы второго порядка; гиперболы; показательной функции; степенной функции и др.

В зависимости от количества взаимодействующих признаков различают однофакторные и многофакторные связи.

Однофакторные связи обычно называются парными, так как исследуется связь между одним признаком-фактором и одним признаком-результатом (парная корреляция). Например, корреляционная связь между прибылью и производительностью труда.

В случае многофакторной (множественной) связи исследуется влияние многих (два и более) взаимодействующих между собой признаков-факторов на признак-результат (множественная корреляция). Например, корреляционная связь между производительностью труда и уровнем организации труда, автоматизации производства, квалификации рабочих, производственным стажем, простоями и другими факторными признаками. С помощью множественной корреляции можно охватить весь комплекс факторных признаков и объективно отразить существующие множественные связи.