Раздел3 «Евклидовы пространства»

1. Пусть͞ х( х₁, х₂), ȳ(y₁, y₂) - произвольные векторы арифметического пространства R₂. Проверить, можно ли следующими способами определить скалярное произведение в R₂:

   1. (x̄,ȳ) = 2 х₁ y₁+ 5 х₂ y₂;

   2. (x̄,ȳ) = х₁ y₁+ х₁ y₂+ х₂ y₁+ х₂ y₂.

Записать неравенство Коши – Буняковского в тех случаях, где это возможно.

2. Доказать, что в пространстве многочленов не выше n-1 степени скалярное произведение многочленов

p(t)=a₀+a₁t+…+a_n-1t^n-1 и

q(t)=b₀+b₁t+…+b_n-1t^n-1

можно определить следующим способом:

(p,q)= a₀b₀+a₁b₁+…+a_n-1b_n-1

Написать неравенство Коши – Буняковского, неравенства треугольника для этого пространства.

3. Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам: (1,1,1,1), (1,-1,-1,1), (2,1,1,3).

4. Проверить, что векторы следующей системы попарно ортогональны:

x̅₁(1, 1, 1, 2), x̅₂(1, 2, 3, -3)

5. Построить ортонормированный базис пространства, приняв за два вектора этого базиса векторы (1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2, 1∕ 2) и (1∕6, 1∕6, 1∕2, -5∕6).

6. Посредством процесса ортогонализации, найти ортогональный базис подпространства, натянутого на данные системы векторов:

   1. x̅₁(1,2,2,-1), x̅₂(1,1,-5,3), x̅₃(3,2,8,-7)

   2. x̅₁(1,1,-1,-2), x̅₂(5,8,-2,-3), x̅₃(3,9,3,8)

7. Проверить ортогональность следующей системы векторов и дополнить ее до ортогонального базиса:

x̅₁(1,-2,1,3), x̅₂(2,1,-3,1)

8. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x̅(4,-1,-3,4) на линейное подпространство L, натянутое на векторы ē₁(1,1,1,1), ē₂(1,2,2,-1), ē₃(1,0,0,3).

9. Найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы:

ē₁(1,0,2,1), ē₂(2,1,2,3), ē₃(0,1,-2,1).

10. Доказать, что в действительном евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора x̅ и y̅ ортогональны тогда и только тогда, когда | x̅ - y̅ |²= | x̅ |²+ | y̅ |².

Ответы к разделу 3

1. 1.1.можно, 1.2.нельзя

2. Ответ

3. (0, 1 ∕√2, -1 ∕√2, 0)

5. За остальные два вектора можно взять, например, 1∕√26(0, -4, 3, 1) и 1∕√234(-13, 5, 6, 2).

6. 6.1. (1,2,2,-1), (2,3,-3,2), (2,-1, -1, -2) , 6.2. (1,1,-1,-2), (2,5,1,3)

7. (-4,2,-1,3), (2,4,3,1)

8. Ортогональная проекция (1,-1,-1,5), ортогональная составляющая (3,0,-2,-1)

9. Базис ортогонального дополнения (2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)

Раздел4 «Линейные операторы»

1. Установить, какие из заданных отображений пространства V₃ являются линейными операторами, выписать их матрицы в базисе i̅ , j̅, k̅:

   1. Аx̅ = λx̅.

   2. Аx̅ = λx̅ +a̅, λ и a̅ фиксированы.

   3. Аx̅ =( x̅, e̅) e̅, где e̅ - заданный единичный вектор.

   4. Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор.

   5. Аx̅ = (y+z) i̅ + (2x+z) j̅ +(3x-y+z) k̅, где x̅ = x i̅ +y j̅ +z k̅.

2. Установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R₃ в себя являются линейными, выписать их матрицы в каноническом базисе:

   1. Аx̅ = (x₂+x₃, 2x₁+x₃, 3x₁-x₂+x₃)

   2. Аx̅ = (x₁, x₂+1, 2+x₃)

   3. Аx̅ = (0, x₂-x₃, 0)

3. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени не выше n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами, найти матрицу этого преобразования в базисе 1,х, х²,…хⁿ.

4. В пространстве L₄ задан линейный оператор, матрица которого в некотором базисе e̅₁, e̅₂, e̅₃, e̅₄ равна

1 2 0 1

А = 3 0 -1 2

2 5 3 1

1 2 1 3

Найти матрицу оператора в базисе e̅₁, e̅₁+ e̅₂, e̅₁+ e̅₂+ e̅₃, e̅₁+ e̅₂+ e̅₃+ e̅₄

5. В пространстве L₃ заданы два базиса:

e̅₁̍ = 8e̅₁ - 6e̅₂ + 7e̅₃, e̅₂̍=-16e̅₁ +7e̅₂ -13e̅₃ , e̅3=9e̅₁ - 3e̅₂ + 7e̅₃

e̅₁̍ ̍= e̅₁ - 2e̅₂ + e̅₃, e̅₂̍ ̍= 3e̅₁ - e̅₂ + 2e̅₃, e̅₃̍ ̍=2e̅₁ + e̅₂ + 2e̅₃.

Найти матрицу оператора в базисе e̅₁̍ ̍, e̅₂̍ ̍, , e̅₃̍ ̍, если его матрица в базисе e̅₁̍, e̅₂̍, e̅₃̍ имеет вид

1 -18 15

А̍ = -1 -22 20

1 -25 22

6. В пространстве L₂ оператор А в базисе a̅₁(1,2), a̅₂(2,3) имеет матрицу

3 5

A = 4 3,

а оператор В в базисе b̅₁(3,1), b̅₂(4,2) имеет матрицу

4 6

В = 6 9.

Найти матрицу оператора А+В в базисе b̅₁, b̅₂.

7. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V₃: Аx̅ =( x̅, e̅) e̅, где e̅ - заданный единичный вектор.

8. Описать ядро и образ линейного оператора, действующего в пространстве V₃: Аx̅ = [ a̅, x̅], где a̅- фиксированный вектор.

9. Для линейного оператора, действующего в пространстве R₃, определить ранг и дефект, а также найти базисы ядра и образа:

Аx̅ = (x₁+2x₂+x₃, x₁- x₃, x₁+ x₂).

10. Доказать, что оператор невырожденный тогда и только тогда, когда его дефект равен нулю, а, следовательно, ранг совпадает с размерностью пространства.

11. Найти собственные значения и собственные векторы оператора проектирования на плоскость Oxy в пространстве V₃.

12. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

2 -1 2

А = 5 -3 3

-1 0 -2

13. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

0 1 0

А = -4 4 0

-2 1 2

14. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей в некотором фиксированном базисе:

4 -5 2

А = 5 -7 3

6 -9 4

15. Выяснить, какие из матриц линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

-1 3 -1

А= -3 5 -1

-3 3 1

15.2.

6 -5 -3

А= 3 -2 -2

2 -2 0

Ответы к разделу 4

1. 1.1.является, матрица оператора

λ 0 0

А = 0 λ 0

0 0 λ

1.2.не является

1.3.является оператором проектирования на ось

1.4.является, если a̅ = a₁i̅ +a₂j̅ +a₃k̅, то матрица перехода

0 -a₃ a₂

А= a₃ 0 -a₁

-a₂ a₁ 0

1.5. является, матрица оператора

0 1 1

А = 2 0 1

3 -1 1

2. 2.1.является, матрица оператора

0 1 1

А = 2 0 1

3 -1 1

2.2. не является.

2.3. является, матрица оператора

0 0 0

А = 0 1 -1

0 0 0

3. матрица оператора

0 1 0 … 0

0 0 2 … 0

А= … … … … …

0 0 0 … n

0 0 0 … 0

4. Матрица оператора

-2 0 1 0

А = 1 -4 -8 -7

1 4 6 4

1 3 4 7

5. Матрица оператора в базисе e̅₁̍ ̍, e̅₂̍ ̍, , e̅₃̍ ̍ имеет вид

1 2 2

А̍ ̍= 3 -1 -2

2 -3 1

6.Матрица оператора А+В

44 44

А+В= -29,5 -25

7. Ядро оператора - двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору e̅, образ оператора - одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору e̅.

8. Ядро оператора - одномерное подпространство векторов, коллинеарных вектору a̅, образ оператора - двумерное подпространство векторов, ортогональных вектору a̅.

9. Дефект оператора равен 1, ранг оператора равен 2. В качестве базиса

образа оператора могут быть выбраны, например, векторы e̅₁(1,1,1), e̅₂(2,0,1,), в качестве базиса ядра оператора может быть выбран, например, вектор e̅(1,-1,1).

11.λ₁=1, собственные векторы– векторы, компланарные плоскости Oxy; λ₂=0, собственные векторы- векторы, ортогональные плоскости Oxy.

12. λ=-1, x̅=t(1,1,-1)^т .

13. λ=2, x̅=t₁(1,2,0)^т+ t₂(0,0,1)^т.

14. λ₁=1, x̅_λ1=t (1,1,1)^т

λ₂=0, x̅_λ2=s (1,2,3)^т

15.

1 0 0

15.1. А= 0 2 0

0 0 2,

Базис образуют, например, векторы e̅₁(1,1,1), e̅₂(1,0,0), e̅₃(1,0,-3).

16. Матрица к диагональному виду не приводится.