- •Вопрос 2: Операция умножения матриц и ее свойства
- •1.Определитель не меняется при транспонировании.
- •3. При перемене 2х строк местами, а остальные на месте определитель меняет знак.
- •Билет 9.
- •Доказательство:
- •Свойства решений систем линейных алгебраических уравнений
- •Всякий базис в множестве q состоит из n – r векторов e1,...,en-r. Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов е1,..., Еn–r наз. Фундаментальной системой решений.
Матрицы. Операция сложения и умножения матрицы на число
Ответ:
Опр1. Матрицей A размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из S строк и n столбцов.
- элемент матрицы,
i – номер строки,
j – номер столбца.
Типы матриц:
1. квадратная матрица;
2. нульматрица;
3. ; A – диагональная матрица элементы главной диагонали.
4. единичная матрица.
5.
верхняя треугольная матрица.
6.
нижняя треугольная матрица
Определение2 Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность, тогда
Пусть для , тогда говорят, что матрицы А и В равны: А=В.
Определение3 Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность, тогда суммой матриц А и В называется матрица
С=А+В;
Определение4 Пусть , а вещественное число, тогда произведением матрицы А на число называется матрица
Свойства линейных операций над матрицами
Перестановочность:
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С);
Распределительный закон умножения
3.
4.
5. Определение5 Пусть существуют матрицы
С – разность А и В, если можно записать А=В+С; обозначается С=А-В.
Определение6 Пусть матрицы
Матрица называется произведением матриц А и В (обозначается С=АВ), если
Определение7 Транспонированная матрица. Транспонировать матрицу А значит записать столбцы матрицы А строками с теми же номерами.
Вопрос 2: Операция умножения матриц и ее свойства
Определение6 Пусть матрицы
Матрица называется произведением матриц А и В (обозначается С=АВ), если
Свойства:
Сочетательное свойство:
Распределительное свойство:
.
Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице:
Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице:
Если и — квадратные одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.
Умножение матриц в целом некоммутативно:
Если , то матрицы и называются перестановочными или коммутирующими между собой.
Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:
Билет 3. Перестановки и их четность. Изменение четности при транспозиции.
Перестановки, подстановки. Понятие инверсии и четности.
Опр1. Перестановкой n-го порядка называется упорядоченная последовательность элемент перестановки элементов множества М.
Запишем все перестановки n=3 M={1,2,3}
6 – различных перестановок 3-го порядка
Утверждение существует n! различных перестановок n-го порядка.
Опр2 Говорят что элементы и образуют беспорядок(инверсию) в перестановке, если но при этом .
Пример всего 5 инверсий N(4312)=5.
Опр3. Транспонизацией элементов и называется перемена их местами при этом все остальные элементы фиксированы.
Утверждение Любая транспонизация элементов меняет четность перестановки.
Опр4. Подстановкой n-го порядка называется однозначное отображение множества M
Это отображение записывается в виде ;
Если N(p) – чётное(нечётное) число, то подстановка p называется чётной(нечётной).
Билет 4. Определители 2, 3 порядков. Определние определителя порядка n. Единичная матрица и ее определитель
Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
|
|
, где М1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. \
В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
Определитель единичной матрицы равен 1
Билет 5.
Неизменность определителя при транспонировании его матрицы
1.Определитель не меняется при транспонировании.
Пусть А(nxn), пусть В=АT
А=||a,ig|| , B=||b,gi||
a,ig = b,gi – очевидно.
Рассмотрим слагаемое в detB (-1)N(P)*a£11*a£22*…*a£nn
Здесь P=(1 2 … n)
(£1 £2 … £n)
произведение a£11*a£22*…*a£nn входит в det A со знаком
P`=(£1 £2 … £n)
(1 2 … n)
Очевидно, что четности подстановок совпадают
(-1)N(P)=(-1)N(P`) по этому det A b det B состоят из одних и тех же
слагаемых произведений.
Билет 6.
Разложение определителя в сумму определителей, если какой-либо столбец определяется суммой столбцов
Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,
Билет 7. Свойства определителя – вынесение за знак определителя общего множителя из строки или стобца, перестановка двух строк или столбцов
Ответ:.Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя.