Свойства решений систем линейных алгебраических уравнений

Используя свойства линейных операций с матрицыми, нетрудно доказать, справедливость следующих утверждений.

1. Если и — два решения системы , то при любых и вектор — решение системы.

2. Если и — два решения системы , то вектор — решение приведенной однородной системы .

3. Если решение системы , а — решение системы , то вектор — решение системы .

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы

25. ОСЛАУ: понятие о базисных и свободных неизвестных, условие нетривиальной совместимости однородной системы.

1. Для решения произвольных однородных систем линейных алгебраических уравнений удобен метод Гаусса. Основан он на следующем.

При вычислении ранга расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений с помощью элементарных преобразований ее приводят к трапецеидальному виду:

.

Но если исходная матрица соответствует исходной системе уравнений, то трапецеидальная матрица будет соответствовать той же системе, но в измененном виде.

Особенность трапецеидальной матрицы заключается в том, что каждая ее последующая строка имеет на один ноль больше и, соответственно, на один коэффициент не равный нулю меньше. Строки, целиком состоящие из нулей, соответствуют исчезнувшим уравнениям. В последней строке будет один коэффициент не равный нулю и, значит, одна неизвестная в уравнении для определенной системы. В случае неопределенной системы в последнем уравнении будет одна базисная переменная и несколько свободных.

Находя эту базисную неизвестную из последнего уравнения, переходим затем к предпоследней строке и соответствующему ей уравнению и находим следующую базисную неизвестную. Эта операция повторяется до первой строки. После вычисления всех базисных неизвестных составляется нормированная фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

26.

. Пусть дана однородная система линейных уравнений

(*)

Предположим, что набор чисел - какое-то решение этой системы. Тогда набор чисел тоже является решением. Это проверяется непосредственной подстановкой в уравнения системы. Далее, если набор - некоторое другое решение, то тоже является решением:

И вообще, любая линейная комбинация решений системы (*) является решением этой системы.

Всякий базис в множестве q состоит из n – r векторов e1,...,en-r. Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов е1,..., Еn–r наз. Фундаментальной системой решений.

Базисные решения Е₁,..., Е_n–r могут быть получены по правилу Крамера, если свободным неизвестным придавать пооче­редно значение 1, полагая остальные равными 0.

29.

Теорема (об общем решении неоднородных систем). Пусть (т.е. система (2) совместна), тогда: если , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно; если , то общее решение системы (2) имеет вид , где — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Решим систему

Преобразуем её к

Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

Заметим, что является частным решением.

Составим однородную систему:

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:

Общее решение системы может быть записано так:

30 МЕТОД ГАУССА

15. Исследование систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных путем элементарных преобразований. - метод Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему (имеющей такие же решения) специального вида, которая легко исследуется и решается. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Применим данный метод для решения системы

Пусть в системе (1.7) а₁₁0. Этого можно добиться несколькими способами в числе которых перестановка уравнений местами, элементарные преобразования над строками. Все преобразования в дальнейшем будем проводить с расширенной матрицей. Нужно исключить все коэффициенты при х₁, т.е. обратить все элементы первого столбца, начиная со второй строки в 0. Разделим первую строку на а₁₁, т.е. преобразуем систему в равносильную так, чтобы а₁₁=1.

Единственное условие, которое должно быть выполнено при выборе, состоит в том, что коэффициент при избранном неизвестном должен быть не равен 0.

x₁+ +...+ = (1.10)

Исключим теперь х₁ из остальных уравнений системы. Будем умножать (1.8) последовательно на а₂₁, а₃₁,..., а_n1 и вычитать соответственно из 2-го, 3-го и последнего уравнений системы. После этого система уравнений (1.7), заменится эквивалентной системой.

(1.11)

Эти уравнения также образуют систему n уравнений с неизвестными х₁,...,х_n. Порядок ее тот же, что и у исходной системы. К ней можно применить такое же преобразование. Выбрать второе уравнение, коэффициент при х₂ привести к 1, исключить х₂ из остальных уравнений и т.д. Такие преобразования проводятся до тех пор, пока они возможны, т.е. либо мы переберем все уравнения системы, либо когда в оставшихся уравнения не будет коэффициентов не равных 0.

В результате получаем систему ступенчатого вида:

(1.12)

Возможны 3 случая.

1. Получаем строку вида: 0+0+0+...+0=d_r.

В этом случае решений нет.

2. a_nnx_n=b_n

В этом случае единственное решение.

3. - бесчисленное множество решений.

Пример Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Нужно преобразовать данную матрицу таким образом, чтобы а₁₁=1. Для этого можно разделить первую строку матрицы на 2. А можно переставить местами 1-ю и 2-ю строки, тогда получим а₁₁=1.

.

Умножаем первую строку матрицы последовательно на (-2), (-4) и складываем соответственно со второй и третьей строками, получаем:

.

В полученной матрице 2-ю строку нужно разделить на 5, для того чтобы а₂₂=1. В данном примере проще провести следующие эквивалентные преобразования: 3-ю строку разделить на 9, и переставить местами 2-ю и 3-ю строки. Получим:

.

Теперь умножаем 2-ю строку на (-5) и прибавляем к третьей строке:

.

Получили матрицу ступенчатого вида. Третьей строке соответствует уравнение:

-4z=-4. Откуда получаем z=1. Второй строке соответствует уравнение: y-z=-2. Получаем, что у= -1. И, наконец, первой строке соответствует уравнение: x-y+2z=5. Откуда х=2.