Раздел1 «Линейные пространства».
Проверить, является ли данное множество линейным пространством:
Множество всех векторов, параллельных фиксированной плоскости.
Множество всех векторов, параллельных фиксированной прямой.
Множество геометрических векторов а̅ (x,y,z), координаты которых удовлетворяют условию х+y+z=0.
Множество всех матриц размера 2×3.
Множество невырожденных матриц третьего порядка.
Множество вырожденных матриц третьего порядка.
Множество многочленов степени не выше третьей.
Множество многочленов Р(t)=a0+a1t+a2t2 с положительными коэффициентами.
Множество расходящихся последовательностей.
Множество радиус-векторов, концы которых находятся на фиксированной прямой.
Доказать, что каждая из двух систем векторов образует базис и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:
e̅1 (1,2,1), e̅2 (2,3,3), e̅3 (3,7,1);
e̅1̍ (3,1,4), e̅2̍ (5,2,1), e̅3̍ (1,1,-6)
Векторы e̅1(1,1,1), e̅2(1,1,2), e̅3(1,2,3) и х̅(6,9,14) заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e̅1, e̅2, e̅3 образуют базис, и найти координаты вектора х̅ в этом базисе.
Доказать, что каждая из систем многочленов 1, х, х2 и 1-х, 2х-х2, -3х образует базис в пространстве многочленов степени не выше второй, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если
- поменять местами два вектора первого базиса?
- поменять местами два вектора второго базиса?
В пространстве геометрических векторов V3 дана система векторов
e̅1= 2i̅ + j̅ - 3k̅, e̅2= 3i̅ + 2j̅ - 5k̅, e̅3= i̅ - j̅ + k̅. Доказать, что данная система образует базис в V3, составить матрицу перехода от базиса i̅ , j̅ , k̅ к базису e̅1, e̅2, e̅3 и найти координаты вектора х̅=6 i̅ +2 j̅ - 7k̅ в базисе e̅1, e̅2, e̅3.
Дана матрица перехода от базиса e̅1, e̅2, e̅3 к базису e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍. Найти координаты векторов e̅1, e̅2, e̅3 в базисе e̅1̍, e̅2̍, e̅3̍.
1 0 1
Т= 0 0 2
-1 3 0
Найти координаты многочлена t2-t+2 в базисе 1,t-1, (1-t)2.
Доказать, что если системы векторов
Е: e̅1, e̅2 ,…e̅n,
Е̍: e̅1̍, e̅2̍ ,…e̅n̍,
Е̍ ̍: e̅1̍ ̍, e̅2̍ ̍,…e̅n̍ ̍
образуют базисы в пространстве Vn, то справедливо матричное равенство: Т Е→ Е̍ ̍ =Т Е→ Е̍ Т Е̍→ Е̍ ̍.
Установить, является ли изоморфизмом данное отображение V3 на R3:
φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (2x –y, z, x+y+z)
φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y -1, 2z, 3y)
φ(x i̅ +y j̅ +z k̅) = (x+y, -y+2z, x+2y-2z)
Ответы к разделу 1
1.1 является. 1.2. является. 1.3. является. 1.4 является. 1.5. не является. 1.6.не является. 1.7. является. 1.8.не является. 1.9.не является 1.10 является, если прямая проходит через начало координат
х1=-27х1̍ - 71 х2̍̍- 41х3̍
х2=9х1̍ + 20 х2̍̍ + 9х3̍
х3=4х1̍ + 12 х2̍̍ + 8х3̍
х̅(1,2,3)
Матрица перехода
1 0 0
-1 2 -3
0 -1 0
Поменяются местами две строки; поменяются местами два столбца.
Ответ
Ответ
(2,1,1)
Указание: воспользоваться определением матрицы перехода.
10.1. является
10.2. не является, так как нарушено условие линейности отображения.
10.3. не является, так как нарушено условие взаимной однозначности отображения.