3. Расчет длин волн линий резонансного дублета натрия

Теперь нам известно, что является причиной дублетного расщепления спектральных линий ще­лочных металлов. Попробуем описать это математически.

Энергия связи электрона с ядром описывается уравнением, напоминающее уравнение для стан­дартного терма щелочного металла:

(1)

Теперь запишем её в системе СИ (отличия лишь в коэффициенте) и учтем еще добавочное вза­имодействие, взаимодействие спинового магнитного момента электрона с его орбитальным маг­нитным моментом (далее будем записывать все формулы используя систему СИ):

(2)

Первый член этого соотношения - это энергия с учетом поляризации квазиядра и учетом того, что есть вероятность обнаружить электрон вблизи ядра. ΔW’ это поправка, учитывающая взаи­модействие спинового магнитного момента электрона с его орбитальным магнитным моментом. Задача сводится к расчёту расщепления энергии ΔW для этого типа взаимодействия. Энергия взаимодействия спинового магнитного момента с полем, в нашем случае это поле создаваемое орбитальным механическим моментом, как известно, описывается следующим выражением:

, (3)

г де - спиновый магнитный момент электрона, - магнитная индукция поля созданного орби­тальным механическим моментом электрона, μ_Б – магнетон Бора. Спиновый механический момент электрона квантуется по закону:

(4)

С учетом этого

(5)

Из векторной диаграммы на рис. 1. по теореме косинусов следует

(6)

,

,

. (7)

Для вычисления B_l определим магнитную индукцию поля, создаваемого круговым током I, радиуса r:

(8)

Магнитный момент витка тока площади S и силы тока I равен

(9)

отсюда . Выразив площадь , и подставив в (7), получим

(10)

Магнитная индукция поля, создаваемого орбитальным магнитным моментом электрона

(11)

где орбитальный магнитный момент электрона

(12)

Подставив (6), (7), (11), (12) в (5), получим

(13)

Для электрона величина не имеет физического смысла, необходимо брать среднее значение , которое в квантовой механике описывается выражением

, (14)

где (15)

Заменив в (13) на (14), получим

(16)

Таким образом, полная энергия электрона согласно (2) и (16) будет иметь вид

(17)

Длина волны фотона, который излучается при переходе будет

(18)

Для окончательного решения данной задачи необходимо учесть тот факт, что существует вероятность обнаружить электрон как снаружи квазиядра, так и внутри него. Таким образом, заряд ядра Z на самом деле нельзя считать равным количеству протонов в ядре. Он будет несколько меньше в связи с тем, что квазиядро экранирует ядро, и "эффективно" на электрон действуют не все протоны ядра. Для того чтоб учесть этот факт, вводят поправку, называемую коэффициентом экранирования α. Для атомов с порядковым номером больше 10 этот коэффициент приблизительно равен α≈7.45. Тогда в конечную формулу для энергии нужно подставлять Z* вместо Z, где Z* = Z – α

Так как определить длины волн дублета довольно легко, то задачу используют в обратном направлении. По измеренным значениям длин волн определяют коэффициент экранирования.

Для резонансного перехода атома натрия (α=7.45) теоретически можно получить дублет с такими длинами волн:

Å Å

Энергетический зазор между этими двумя линиями составляет 1.2∙10^-3 эВ.

В данной работе необходимо измерить дублет натрия и найти значение коэффициента экранирования по формуле

(19)

где определяется по длинам волн дублета.