3) Условия равновесия.

В оспользуемся основной формой условий равновесия произвольной плоской системы сил:

∑X_k=0; X_а +F*cos(360-α) =0;

∑Y_k=0; Y_а –F*sin(360-α) –Q₁+Q₃=0;

∑m_а(F_k)=0; -m_a-Q₁*L-F*sin(360-α)*2L+Q₃*5L-m= 0.

и на основании (1), (2), (3), (4) и (5)

X_a +2*cos60^°qL=0;

Y_a -2*sin60^° qL –2qL+2qL=0;

-m_a -2q L² -4*sin60^°+10qL² - qL²= 0.

Ответы:

X_а=-qL

Y_а=1.732qL

m_a=-3.54qL

Задача №4

Исходные данные

№ п/п	Длины			Силы системы (модуль кН, направление)								Контрольные ответы
	A	B	C	F1		F2		F3		F4		R*	M0
13	0,1	0,7	0,4	50	7-1	15	2-7	90	3-7	20	8-7	83,23	65,22

Рисунок

Z

F_1y

Решение

1) Изображение действующих сил.

По данным таблицы изобразим параллелепипед с приложенными к нему силами F₁, F₂ , F₃ , F₄. Вершину 4 параллелепипеда примем за начало координат системы, оси направим по его ребрам.

2) Определение главного вектора системы сил.

Проекции главного вектора R^* системы сил на координатные оси определяются формулами

R _x^*=∑F_kx;

R_y^*=∑F_ky; (1)

R_z^*=∑F_kz.

Находим проекции каждой силы на выбранные координатные оси.

	F1	F2	F3	F4
Fkx	F1cosαcosβ	-F2cosγ	0	0
Fky	-F1cosαsinβ	0	0	F4
Fkz	-F1sinα	F2sinγ	F3	0

Подставляя проекции сил в формулы (1), получаем

R _x^*= F₁cosαcosβ-F₂cosγ;

R_y^*= F₄-F₁cosαsinβ;

R_z^*= F₃- F₁sinα+ F₂sinγ.

Из рисунка видно, что

cosα= =0,87; sinα= =0,492;

cosβ= =0,141; sinβ= =0,99;

cosγ= =0,243; sinγ= =0,97.

Н аходим проекции главного вектора R^* системы сил на координатные оси

R_x^*= 50*0,87*0,141-15*0,243=2,49;

R_y^*= 20-50*0,87*0,99= -23;

R_z^*=90-50*0,492+15*0,97=79,95.

Модуль и направляющие косинусы главного вектора равны

R^*= ;

cos(R^*,i)= ; cos(R^*,j)= ; cos(R^*,k)= .

R^*= =83,23 (кН);

cos(R^*,i) =0,03; cos(R^*,j) =-0,276; cos(R^*,k) =0,961.

3) Определение главного момента системы сил относительно точки О.

С начала находим главные моменты системы сил относительно координатных осей по формулам

M_x=∑m_x(F_k);

M_y=∑m_y(F_k); (2)

M_z=∑m_z(F_k);

Находим моменты каждой силы относительно координатных осей.

При определении моментов сил и воспользуемся теоремой Вариньона, согласно которой момент данной силы относительно оси равен сумме моментов ее составляющих относительно той же оси.

	F1	F2	F3	F4
mx(Fk)	0	F2*b*sinγ	F3*b	-F4*c
my(Fk)	F1*c*cosα*cosβ	- F2*a*sinγ	0	0
mz(Fk)	-F1*b*cosα*cosβ	F2*b*cosγ	0	0

Подставляя моменты сил в формулы (2), получаем

M _x = F₂*b*sinγ + F₃*b- F₄*c;

M_y = F₁*c*cosα*cosβ - F₂*a*sinγ

M_z = -F₁*b*cosα*cosβ + F₂*b*cosγ.

Находим главные моменты системы сил относительно координатных осей:

M _x=65,19;

M_y=1;

M_z= -1,77.

Модуль и направляющие косинусы главного момента относительно центра О равны

M₀= ;

cos(M₀,i)= ; cos(M₀,j)= ; cos(M₀,k)= .

M₀= =65,22;

cos(M₀,i)=0; cos(M₀,j)= 0.015; cos(M₀,k)= -0.027.

4) Определение характеристического произведения системы сил и угла между главным вектором и главным моментом.

H=R^**M₀=R_x^**M_x+R_y^**M_y+R_z^**M_z;

cosφ= .

H=2,49*65,19+(-23)*1+ 79,95*1,77=280,83;

cosφ= =0,052.

5) Определение наименьшего значения главного момента системы сил

M^*=|M₀*cosφ|

M^*=|65,22*0.052)|=3,37.

6) Определение положения точки O^’ , через которую проходит ось динамического винта.

Ось динамического винта параллельна главному вектору R^* и проходит через точку O^’, которая находится на перпендикуляре к плоскости (R^*;M₀) на расстоянии

d=OO^’= ;

sinφ= = =0.99

d= =0,783.

Анализ результатов

Опираясь на результаты, приведенные в таблице результатов, строим по найденным проекциям векторы R^*, M₀ и определяем простейший вид данной системы сил.

Z

Для этого извлекаем из таблицы следующие величины:

R^*=83,23 (кН); M₀=65,22 (кН); H=280,83 кН²м; M^*=3,37 кНм.

Так как R^*≠0, M₀≠0, a H>0, то данная система сил приводится к правому динамическому винту D (R,M ), у которого сила и момент пары равны

R=R^*=83,23 (кН); M =M^*=3,37 кНм.

Ось динамического винта проходит через точку О, причем d=0,783.