- •Лабораторная работа №2 статистическая обработка результатов измерений
- •Задание на подготовку к проведению лабораторной работы
- •Краткие теоретические сведения
- •Статистическая обработка результатов измерений
- •Косвенные измерения и обработка их результатов
- •Совместные измерения и их статистическая обработка
- •Контрольные вопросы
- •Описание лабораторной установки в комплект лабораторной установки входят:
- •Задание на лабораторную работу
- •Порядок выполнения работы
- •1. Проведение многократных измерений и выполнение их статистической обработки
- •Проведение измерений амплитудной характеристики усилителя и ее аппроксимация по методу наименьших квадратов
- •3. Измерение временных и амплитудных параметров сигналов с использованием осциллографа
- •Применение осциллографа как устройства сравнения
- •Содержание отчета
- •Приложение п.7.
Косвенные измерения и обработка их результатов
3.1. При косвенных измерениях физическая величина А является известной функцией ряда других величин — аргументов Данные аргументы подвергаются прямым измерениям, а величина вычисляется по формуле:
. (2.10)
Методика обработки результатов косвенных измерений стандартизирована.
В частных случаях при отсутствии корреляции между погрешностями измерения аргументов вычисления производятся по значительно более простым формулам.
Пусть функция (2.10) имеет вид суммы. Тогда:
(2.12)
Предположим, что функция (2.10) имеет вид произведения. Тогда: (2.13) где k, — константы; — соответственно относительные СКО случайных погрешностей результата измерения и i-го аргумента.
3.2. Доверительные границы случайной погрешности и НСП косвенных измерений. При косвенных измерениях оценка доверительного интервала в котором находится с заданной доверительной вероятностью выполняется в следующей последовательности.
Если погрешности результатов измерения всех аргументов имеют нормальный закон распределения, то доверительная граница вычисляется по формуле
где — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности РД и некоторому целому положительному числу — оценка СКО результата косвенного измерения.
Коэффициент — эффективное число степеней свободы распределения Стьюдента — рекомендуется рассчитывать по приближенной формуле:
, (2,15)
где — число измерений при определении аргумента xi.
Граница НСП результата косвенного измерения определяется без учета знака по формуле:
(2.16)
Суммарные границы погрешности результата косвенного измерения с учетом границы НСП и доверительной границы случайной погрешности определяются по общим правилам. Результат косвенного измерения и его погрешность должны представляться в виде формулы:
. (2.17)
При однократных измерениях аргументов процедура определения результата косвенно измеряемой величины сохраняется такой же, как и при многократных измерениях.
Совместные измерения и их статистическая обработка
В результате таких измерений находятся координаты искомой зависимости Экспериментальные координаты (где i= 1, 2,... п — число совместных измерений) отличаются от истинных координат (х,у) из-за систематических и случайных погрешностей измерений. Возникает задача наилучшей аппроксимации экспериментальной зависимости у = f(x) по координатам xi , yi.
Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут такие, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений функции yi от значений самой функции y, будет наименьшей:
(2.18)
Применение метода наименьших квадратов при статистической обработке результатов измерений требует учета ряда условий:
значения аргументов xi известны точно;
результаты измерений yi независимы и содержат лишь случайные погрешности с одинаковыми дисперсиями;
погрешности измерения yi имеют нормальное распределение.
Первое условие приближенно выполняется за счет измерения значения xi с меньшей погрешностью, чем yi. Наличие только случайных погрешностей обеспечивается исключением из результатов измерений возможных систематических погрешностей.
В простейшем случае, когда искомая зависимость имеет линейный характер вида . В соответствии с методом наименьших квадратов наилучшим оценкам а и b соответствует минимальное значение выражения:
(2.19)
где — отклонение измеренных значений у, от вычисленных) при
При использовании метода наименьших квадратов необходимо по набору из п экспериментальных координат найти такие оценки неизвестных постоянных а и b, при которых получается прямая линия, наилучшим образом отражающая истинную анализируемую линию.
Сумма (2.19) минимальна, если ее частные производные по а и b равны нулю:
; . (2.20)
Из решения системы уравнений, находятся формулы для оценок значений а и b:
(2.21)
где ; (2.22)
Степень приближения найденных значений а и b к истинным значениям этих величин оценивается с помощью их СКО и :
(2.23)
где — СКО погрешности измерения величины у, значение которой можно получить из паспортных данных на средство измерения или вычислить по формуле:
(2.24)
Пример. Требуется установить реальную зависимость сопротивления металлического проводника от температуры по результатам совместных измерений (табл. 3.12). При этом теоретическая зависимость определена как:
где — сопротивление проводника при 0°; — ТКС проводника; — температура, 0° С.
Т а б л и ц а 3.12. Результаты совместных измерений
t, °C |
10 |
15 |
20 |
25 |
Ом |
10,3 |
10,9 |
11,3 |
11,6 |
Преобразуем последнюю формулу к виду в которой
Расчеты по формулам (3.51) и (3.52) при п = 4, и дают следующие результаты: а = 9,52 Ом; b= 0,09 Ом/град.
Пусть средство измерения имеет СКО = 0,2 Ом. Тогда, проведя вычисления по формулам (3.53), получим: = 0,33 Ом; = 0,02 Ом/град. Окончательно имеем:
= (9,52+0,33) Ом; = (0,09 + 0,02) Ом/град.