Равновесие Курно

10.1. Рынок сбыта электролампочек находится в условиях олигополии, где имеется два продавца, их объемы производства определяются формулами:

Q₁=120-2Q₂;

Q₂=120-2Q₁,

где Q₁, Q₂ – объемы продаж 1-й, 2-й фирм.

Определите:

а) функции реагирования (кривые спроса) аналитически и графически;

б) объем продаж каждой фирмы.

Решение

а) Функция реагирования показывает зависимость объема выпуска одной фирмы от поведения другой фирмы. Построим кривые спроса для Q₁, Q₂ как линейные функции.

Если Q₁=0, то Q₂=60; если Q₂=0 то Q₁=120;

Если Q₂=0, то Q₁=60; если Q₁=0 то Q₂=120.

Получаем функции реагирования, отображенные на рис. 10.1.

б) Составим уравнения спроса для каждой фирмы:

Тогда для Q₁ получаем:

Q₁=120-2(120–2Q₁), или Q₁=120-240+4Q₁

Отсюда Q₁=40. Аналогично Q₂=40.

Ответ: Q₁=Q₂=40.

10.2. В отрасли, производящей легковые автомобили "Ока", действуют две фирмы. Спрос на них описывается уравнением:

P=100-Q_d, (10.1)

где P – цена одного автомобиля в тыс. руб.;

Q_d – количество легковых автомобилей в тыс. штук.

Предельные издержки обеих фирм постоянны и равны 7 тыс. руб.

Определите:

а) объем выпуска автомобилей для каждой фирмы;

б) цену легкового автомобиля.

Решение

а) Будем использовать формулу Курно для олигополии, состоящей из двух конкурирующих фирм:

где P_m – максимальная цена автомобиля.

Из уравнения (10.1) получаем, что P_m=100 (т.к. Q=0), следовательно:

(тыс. шт.).

б) Для расчета цены можно использовать формулу:

,

или определить цену из уравнения спроса (10.1). Тогда соответственно получаем:

(тыс. руб.);

P=100-2×31=38 (тыс. руб.).

Покажем это графически (рис. 10.2).

Ответ: Q_1,2=31; P=38.

10.3. В отрасли действуют две фирмы. Спрос на всю продукцию фирм задан соотношением:

P=75-0,5Q_d,

где Q_d – объем спроса в тыс. штук;

P – цена товара в руб.

Предельные издержки (MC) не меняются и равны 15 руб. Определить параметры производства для фирм.

Решение

Используем формулы Курно:

. (10.2)

. (10.3)

Из уравнения спроса мы видим, что P_m – максимальная цена при Q=0 равна 75 руб. и b=0,5. Тогда получаем:

тыс. штук.

руб.

Или из уравнения спроса получаем:

P=75–0,5×40×2=35 руб.

Ответы:

Q_1,2=40 тыс. шт.

P_1,2=35 руб.

10.4. Функции общих издержек для двух фирм в условиях дуополии Курно выражаются уравнениями:

TC₁=0,2+6Q₁+0,5Q₁²;

TC₂=2-4Q₂+Q₂².

Рыночный спрос определяется уравнением:

P=20-2Q.

Определите:

а) параметры производства для фирм;

б) прибыль, получаемую каждой фирмой.

Решение

а) Объем выпуска определяем по формуле (10.2), при этом P_m=20 и b=2 – из условия задачи.

Из функций общих издержек найдем значения MC₁ и MC₂. По условию, MC=TC¢, тогда:

MC₁=6+Q₁ и MC₂=-4+2Q_2.

Из уравнения (10.2) получаем:

, отсюда 7Q₁=14 и Q₁=2.

, отсюда 8Q₂=24 и Q₂=3.

Тогда P=20-2(Q₁+Q₂)=20-2(2+3)=10.

б) Прибыль фирмы рассчитываем по формуле:

PR=TR-TC. (10.4)

Тогда:

PR₁=TR₁-TC₁=P×Q₁-TC₁=10×2-0,2-6×2-0,5×2²=20-14,2=5,8.

PR₂=TR₂-TC₂=P×Q₂-TC₂=10×3-2+4×3-3²=42-11=31.

Ответы:

а) Q₁=2; Q₂=3; P=10.

б) PR₁=5,8; PR₂=31.