4. Розв’язати рівняння
Практична робота 17
Дії над ймовірностями.
1. Скільки елементарних подій містить простір якщо з них складено 15 попарно несумісних подій, кожній з яких відповідають 4 елементарні події?
2. На складі є 10 кінескопів заводу № 1 і вісім кінескопів заводу № 2. Навмання взято чотири кінескопи. Знайти ймовірність того, що серед них два кінескопи заводу № 1 і два кінескопи заводу № 2.
3. Цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 написано на однакових картках, які ретельно перемішано. Тричі навмання беруть по одній картці і кладуть їх зліва направо. Знайти ймовірність того, що утворене тризначне число виявиться: а) парним; б) кратним трьом; в) кратним 5.
4. Світлана і Василь домовилися зустрічати Новий рік у компанії чисельністю 10 осіб. Вони дуже хотіли сидіти за святковим столом поруч. Яка ймовірність виконання цього бажання, якщо в їхній компанії є звичай розподіляти місця жеребкуванням.
5. Контролер перевіряє партію з двох деталей 1-го сорту, двох 2-го сорту і трьох — 3-го сорту. Деталі беруть по одній навмання без повернення. Знайти ймовірність того, що деталь 1-го сорту з’явиться раніше за деталь 3-го сорту.
6. На складі зберігаються кінескопи, 70 % яких виготовлено на заводі № 1, а решта — на заводі № 2. Імовірність того, що кінескоп витримає гарантійний строк, дорівнює 0,9 для заводу № 2 і 0,8 для заводу № 1. Знайти ймовірність того, що навмання взятий кінескоп:
1) не витримає гарантійного строку; 2) витримає гарантійний строк.
7. Посівний фонд містить 92 % насіння 1-го сорту. Навмання взято 150 зерен. Знайти ймовірність того, що серед них 140 зерен 1-го сорту.
8. На трьох верстатах-автоматах виготовляються однакові деталі. Перший верстат дає 5 % браку, другий — 7 %, третій — 9 %. Із продукції кожного верстата навмання взято по одній деталі. Знайти ймовірність того, що серед них виявилось:
0, 1, 2, 3 придатних;
принаймні одна деталь придатна;
принаймні одна деталь бракована.
ВАРІАНТ 27
Практична робота 1.
Дії над комплексними числами.
1. Виконати дії (12-і)-(-3+і)
2. В якій чверті розміщене комплексне число 2+і
3. Розв’язати рівняння:
4. Знайти координати точки М, що зображує комплексне число
Практична робота 2
Дії над комплексними числами.
1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .
Практична робота 3
Знаходження границь.
1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:
Визначити при яких значеннях х функція дорівнює нулю.
2. Знайти область визначення функції .
3.Знайти границю функції .
4. Знайти границю функції .
5. Знайти границю функції .
Практична робота 4
Перша та друга визначні границі.
1. Знайти границю функції .
2. Знайти границю функції .
3. Знайти точки розриву функції .
Практична робота 5
Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.
1. Задана функція у = f(x). Знайти у.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
2. Знайти похідну другого порядку: .
3. Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої у = х3 у точці М(1;1).
Практична робота 6
Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.
1. Визначити екстремуми функції: .
2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку:
3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .
4. Знайти асимптоти таких ліній: .
5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .
Практична робота 7
Невизначений інтеграл.
1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .
2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .
3. Знайти інтеграл: .
4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:
5. Методом підстановки знайти інтеграл:
Практична робота 8
Визначений інтеграл.
1.
Використовуючи метод підстановки,
обчислити визначений інтеграл:
2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:
3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:
Практична робота 9
Дії на векторами. Дії над матрицями.
1. Дано три вершини паралелограма: Знайти координати четвертої вершини , що протилежна вершині В.
2. Знайти визначники другого порядку: .
3. Обчислити визначник .
4. Обчислити вираз .
5. Знайти обернені до таких матриць: .
Практична робота 10
Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.
Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.
2.
Звести до матричного вигляду систему
рівнянь і розв’язати методом оберненої
матриці:
Практична робота 11
Система координат. Пряма та площина.
1. Обчислити периметр і площу трикутника за координатами його вершин: і
2. Визначити вершини і кути трикутника, сторони якого задано рівняннями: .
3. Знайти відстань між прямими і .
Практична робота 12
Загальне рівняння кривої другого порядку.
1. Звести до канонічного вигляду рівняння кола .
2. Еліпс проходить через точки і . Скласти його канонічне рівняння.
3. Визначити тип кривої другого порядку: .
4. Знайдіть кут між площинами і .
Практична робота 13
Дії з рядами.
1. Запишіть три перші члени ряду, а також
2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:
3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:
Практична робота 14
Дії з рядами.
1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:
2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:
3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:
Практична робота 15
Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку
1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:
2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при
3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: , при .
Практична робота 16
Розв'язування однорідних диференційних рівнянь
1. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння:
2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:
3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку:
4. Розв’язати рівняння при
Практична робота 17
Дії над ймовірностями.
1. Скільки елементарних подій містить простір якщо з них складено 15 попарно несумісних подій, кожній з яких відповідають 4 елементарні події?
2. Партія електролампочок складається з 10 придатних і п’яти бракованих. Із партії навмання по одній беруть усі лампочки. Знайти ймовірність того, що останньою буде взято придатну.
3. У касовому апараті є вісім 25-копійчаних монет, 10 — вартістю по 50 коп. і 12 — по 5 коп. Знайти ймовірність того, що серед п’яти навмання взятих монет не виявиться жодної вартістю 50 коп.
4. Стержень завдовжки розрубують на дві частини. Знайти ймовірність того, що менша з частин, на які він поділяється, має довжину не менш як
5. У цеху є три резервні двигуни, для кожного з яких імовірність бути ввімкненим у даний момент дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що в даний момент ввімкнено:
принаймні два двигуни;
принаймні один двигун.
6. На складі зберігаються кінескопи, 70 % яких виготовлено на заводі № 1, а решта — на заводі № 2. Імовірність того, що кінескоп витримає гарантійний строк, дорівнює 0,9 для заводу № 2 і 0,8 для заводу № 1. Знайти ймовірність того, що навмання взятий кінескоп:
1) не витримає гарантійного строку; 2) витримає гарантійний строк.
7. На кожні 30 штампованих виробів у середньому припадає 6 виробів з дефектом. Знайти ймовірність того, що з 5 навмання взятих виробів 3 виявляться без дефекту.
8. На паркінгу автомобілів є десять марок «Жигулі», 5 — закордонного виробництва і 9 — «Таврій». Через снігопад 7 автомобілів не виїхали з паркінгу. Яка ймовірність того, що серед них немає жодного автомобіля іноземного виробництва?
ВАРІАНТ 28
Практична робота 1.
Дії над комплексними числами.
1. Виконати дії (12-і)-(-3+і)
2. Обчислити:і22.
3. Розв’язати рівняння:
4. Знайти число спряжене з числом
Практична робота 2
Дії над комплексними числами.
1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .
Практична робота 3
Знаходження границь.
1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:
Визначити при яких значеннях х функція спадає.
2. Визначіть інтервали знакосталості функції .
3.Знайти границю функції .
4.
Знайти границю функції
.
5. Знайти границю функції .
Практична робота 4
Перша та друга визначні границі.
1. Знайти границю функції .
2.
Знайти границю функції
.
3. Який характер має розрив функції в точці х=0?
Практична робота 5
Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.
1. Задана функція у = f(x). Знайти у.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8)
;
2. Знайти похідну другого порядку: .
3. Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х2 у точках М1(½; ¼), М2(–1; 1).
Практична робота 6
Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.
1. Визначити екстремуми функції: .
2.
Знайти найбільше і найменше значення
функції у заданому проміжку:
.
3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .
4. Знайти асимптоти таких ліній: .
5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .
Практична робота 7
Невизначений інтеграл.
1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .
2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .
3. Знайти інтеграл: .
4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:
5.
Методом підстановки знайти інтеграл:
Практична робота 8
Визначений інтеграл.
1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:
2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:
3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:
Практична робота 9
Дії на векторами. Дії над матрицями.
1. Обчислити периметр і площу трикутника за координатами його вершин: і .
2. Знайти визначники другого порядку: .
3. Обчислити визначник .
4. Знайти добутки матриць: .
5. Знайти обернені до таких матриць: .
Практична робота 10
Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.
Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.
2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:
Практична робота 11
Система координат. Пряма та площина.
1. Дано вершини трикутника . Визначити довжини його сторін.
2. Знайти точку перетину медіан трикутника, якщо координатами його вершин є: і .
.
3. Визначте центр і радіус кола, що задане рівнянням: .
Практична робота 12
Загальне рівняння кривої другого порядку.
1. Скласти рівняння дотичної до кола в точці .
2. Скласти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що півосі його дорівнюють 4 і 2 одиницям.
3. Визначити тип кривої другого порядку: .
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до площин і .
Практична робота 13
Дії з рядами.
1. Запишіть три перші члени ряду, а також
2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:
3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:
Практична робота 14
Дії з рядами.
1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:
2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:
3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:
Практична робота 15
Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку
1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:
2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при
3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: , при .
Практична робота 16
Розв'язування однорідних диференційних рівнянь
1. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння:
2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:
3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку:
4. Розв’язати рівняння при
Практична робота 17
Дії над ймовірностями.
1. Скільки елементарних подій містить простір якщо з них складено 15 попарно несумісних подій, кожній з яких відповідають 4 елементарні події?
2. До ліфта дев’ятиповерхового будинку на 1-му поверсі зайшло троє пасажирів. Кожен із них з однаковою ймовірністю виходить на будь-якому з поверхів, починаючи з 2-го. Знайти ймовірність того, що всі пасажири:
вийдуть на 5-му поверсі;
вийдуть одночасно на одному з поверхів;
вийдуть на різних поверхах.
3. Цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 написано на однакових картках, які ретельно перемішано. Тричі навмання беруть по одній картці і кладуть їх зліва направо. Знайти ймовірність того, що утворене тризначне число виявиться: а) парним; б) кратним трьом; в) кратним 5.
4. Студент підготував на залік 36 питань із 42. Знайти ймовірність того, що він складе залік за першим разом, якщо для цього достатньо правильно відповісти на три навмання витягнуті питання (кожне із 42 питань надруковане на окремій картці).
5. У цеху є три резервні двигуни, для кожного з яких імовірність бути ввімкненим у даний момент дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що в даний момент ввімкнено:
принаймні два двигуни;
принаймні один двигун.
6. Металеві заготівки для подальшої обробки надходять із двох цехів: 55 % із першого, 45 % із другого. При цьому продукція з першого цеху містить 3 %, а з другого цеху — 5 % браку. Знайти ймовірність того, що заготівка, яка надійшла на обробку:
1) придатна; 2) бракована.
7. Імовірність виграшу облігації за весь період позики становить 0,6. Куплено 5 облігацій. Знайти ймовірність такої події:
виграють дві облігації;
виграш випаде принаймні на одну облігацію;
виграють не більш як дві облігації.
8. Серед 20 телевізорів фірми «СОНІ» 14 мають систему дистанційного керування. Яка ймовірність того, що серед п’яти випадково відібраних телевізорів три матимуть цю систему?
ВАРІАНТ 29
Практична робота 1.
Дії над комплексними числами.
1. Виконати дії і(1+і)
2. Побудувати на числовій площині та знайти модуль комплексного числа (-1+8і).
3. Розв’язати рівняння:
4. Знайти координати точки М, що зображує комплексне число
Практична робота 2
Дії над комплексними числами.
1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .
Практична робота 3
Знаходження границь.
1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:
Визначити при яких значеннях х функція спадає.
2. Знайти область визначення функції .
3.Знайти границю функції .
4. Знайти границю функції .
5. Знайти границю функції .
Практична робота 4
Перша та друга визначні границі.
1. Знайти границю функції .
2. Знайти границю функції .
3. Який характер має розрив функції в точці х=1?
Практична робота 5
Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.
1. Задана функція у = f(x). Знайти у.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
2. Знайти похідну другого порядку: .
3. Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої у = х3 у точці М(1;1).
Практична робота 6
Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.
1. Визначити екстремуми функції: .
2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку: .
3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .
4. Знайти асимптоти таких ліній: .
5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .
Практична робота 7
Невизначений інтеграл.
1. Розклавши
підінтегральні функції за формулою
,
знайти
такі інтеграли: а)
;
б)
.
2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .
3. Знайти інтеграл: .
4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:
5. Методом підстановки знайти інтеграл:
Практична робота 8
Визначений інтеграл.
1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:
2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:
3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:
Практична робота 9
Дії на векторами. Дії над матрицями.
1. Відрізок між точками і поділено на п’ять рівних частин. Знайти координати точок поділу.
2.
Знайти визначники другого порядку:
3. Розкладаючи за третім рядком, обчислити визначник: .
4. Знайти добутки матриць:
5. Знайти обернені до таких матриць: .
Практична робота 10
Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.
Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.
2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:
Практична робота 11
Система координат. Пряма та площина.
1. Довести, що трикутник з вершинами прямокутний.
2. Визначити вершини і кути трикутника, сторони якого задано рівняннями: .
3. Знайти відстань між прямими і .
Практична робота 12
Загальне рівняння кривої другого порядку.
1. Звести до канонічного вигляду рівняння кола
2. Скласти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що велика піввісь дорівнює 10 одиницям, а ексцентриситет .
3. Визначити тип кривої другого порядку: .
4. Через точку проведено площину перпендикулярно до . Написати її рівняння.
Практична робота 13
Дії з рядами.
1. Запишіть три перші члени ряду, а також
2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:
3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:
Практична робота 14
Дії з рядами.
1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:
2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:
3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:
Практична робота 15
Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку
1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:
2. Знайти
частинні розв’язки диференціального
рівнянь, що задовольняють задані
початкові умови:
при
3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: при
Практична робота 16
Розв'язування однорідних диференційних рівнянь
1. Знайти частинний розв’язок однорідного диференціального рівняння: при
2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:
3.
Розв’язати диференціальне рівняння
першого порядку:
