Запитання для самоконтролю

1. Що називається п- факторіалом?

2. Перечисліть основні задачі комбінаторики.

3. Що називається перестановками? Запишіть формулу для їх обчислення.

4. Що називається розміщеннями? Запишіть формулу числа розміщень.

5. Що називається сполуками? Запишіть формулу для числа сполук.

6. Які події називаються вірогідними? Наведіть приклади.

7. Які події називаються неможливими? Наведіть приклади.

8. Що називається ймовірністю події?

7

одиниць: в від’ємному напрямі осі, якщо a > 0, і додатному, якщо a < 0 ( рис.5).

3. Графік функції y=с f(x), де с≠0, можна отримати із графіка функції y=f(x) розтягом від осі абсцис в раз, якщо > 1, або стисканням його до осі абсцис в раз, якщо < 1 ( рис.6).

4. Графік функції y= f(кx), де к≠0, можна отримати із графіка функції y=f(x) стисканням до осі ординат в раз, якщо > 1, або розтягом його від осі ординат в раз, якщо < 1. При к < 0 додатково виконується перетворення симетрії відносно осі у (рис.7).

113

Рис.6 Рис.7

Вправи

10. Побудуйте графіки функції : 1) у=2х-1; 2) у=1-х²;

3) у=х²+2; 4) у= - 4; 5) у= (1/2)^х -1; 6) у=(х+2)²;

7) у= ; 8) у=(х+1)³; 9) у=х²-5х+6; 10) у=-lg x.

11. Визначить графічно, скільки коренів має рівняння:

1) х³=1- ; 2) 2^х=2-х²; 3) =(х-3)²; 4) sinx= ;

5) cosx = , .

12. При яких значеннях а рівняння 1) не має розв’язків? Має єдиний розв‘язок? Має два розв‘язки ? Має більше двох розв’язків ?

Запитання для самоконтролю

1. Як, маючи графік функції y=f(x), побудувати графік функції y=af(kx+b)

2. За допомогою перетворень відповідних графіків основних елементарних функцій побудувати графіки функцій :

а) y=sinx+3; б) y=3sin2x; в) y=lg(x-1).

3. Областю визначення функції y=f(x) ─ відрізок х [0;1]. Вкажіть область визначення функції: 1) y=f(2x+1); 2) y=f(x²); 3) y=f(cosx).

§ 3. Наближене розв’язування рівнянь

Графічне зображення функцій дає можливість легко знайти наближений розв’язок будь-якого рівняння з однією змінною і системи двох рівнянь з двома змінними .

112

212. Прибор складається із двох елементів, що працюють незалежно. Ймовірність поломки першого елемента дорівнює 0,2; ймовірність поломки другого елемента дорівнює 0,3. Знайти ймовірність того, що: а) обидва елементи поламаються; б) обидва будуть працювати.

213. Ймовірність здачі заліку студентом дорівнює 0,8, а ймовірність здачі екзамену дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що студент здасть екзамен?

214. Гральну кість кидають тричі. Яка ймовірність того, що ні разу не випаде цифра 6?

215. Електрична схема складається із трьох паралельно з’єднаних блоків. Ймовірність безвідмовної роботи кожного блоку складають 0,3; 0,5; 0,8; 0,1; 0,2. Враховуючи поломку різних блоків незалежними подіями, знайти надійність всієї схеми в цілому.

216. Є три партії ламп по 20, 30, 50 штук в кожній . Ймовірність того, що лампи пропрацюють заданий час, дорівнює для кожної партії відповідно 0,7; 0,8; 0,9. Яка ймовірність того, що вибрана навмання лампа із 100 заданих ламп пропрацює заданий час?

217. Стрільбу в ціль ведуть 10 солдат. Для 5 із них ймовірність попадання 0,6, для трьох − 0,5 і для решти − 0,3. Яка ймовірність попадання в ціль?

218. Монету підкидають 10 раз. Яка ймовірність, що при цьому герб випаде рівно три рази?

219. Ймовірність того, що лампа буде несправною після

1000 год роботи, дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що із п’яти ламп не менше три залишаться справними після

1000 год роботи?

220. Ймовірність того, що на деякому підприємстві розхід електроенергії не перевищує добової норми,

8

204. В партії із 100 деталей є 5 бракованих. Визначить ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною?

205. Вибирають навмання число від 1 до 100. Визначить ймовірність того, що в цьому числі не виявиться цифри 3.

206. Із букв складено слово „книга”. Це слово розкинули і довільно зібрали знову. Яка ймовірність того, що знову получиться слово „книга”?

207. В корзині знаходиться 5 білих і 7 чорних рукавиць. Знайти ймовірність того, що пара, яку дістали навмання, буде одноколірною.

208. В коробці знаходиться 250 лампочок, із них 100 по 100 Вт, 50 − по 60 Вт, 50 − по 25 Вт і 50 − по 15 Вт. Обчислити ймовірність того, що напруга будь-якої взятої навмання лампочки не перевищує 60 Вт.

209. В групі 5 студентів вчиться на відмінно, 7 студентів− на добре і відмінно, 15 чоловік мають трійки і 3 чоловіки − незадовільні оцінки. Знайдіть ймовірність того, що викликаний студент не має ні двійок, ні трійок.

210. Із 30 учнів спортивної школи 12 чоловік займаються баскетболом, 15 − волейболом, 5− волейболом і баскетболом , а решту − іншими видами спорту. Яка ймовірність того, що навмання вибраний спортсмен займається тільки волейболом або баскетболом?

211. Електричні лампочки виготовляють на одній із автоматичних ліній. В середньому одна лампочка із тисячі виявляється бракованою. Лампочки виготовляються незалежно одна від одної. Чому дорівнює ймовірність того, що із двох навмання взятих лампочок: 1) виявляться справними обидві; 2) справною буде тільки одна; 3) обидві будуть бракованими?

9

Приклад . Розв’язати рівняння . Це рівняння не зводиться до алгебраїчного .Один корінь(х = 4 ) легко підібрати .Щоб знайти інші корені ( якщо вони є ) краще розв’язати графічно . Замінимо задане рівняння системою у = 2^х , у = 4х .Побудуємо графік показникової функції у = 2^х і функції у = 4х ( пряма лінія ) . В перетині знаходимо дві точки А і В . Абсциса точки А є х = 4 , абсциса точки В є х ≈ 0,3 . Знайдено розв’язок даного рівняння .

Функції , неперервні на відрізку , мають ряд властивостей , які мають теоретичне і практичне значення .

Властивість функції неперервної на відрізку .

Теорема . Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку і на його кінцях приймає значення різних знаків , то існує хоча б одна точка з проміжку , в якій f(x)=0.

Рис. 8

З даної теореми одержуємо метод ( який називають методом «половинного поділу») знаходження кореня рівняння f(x)=0, якщо відомо , що він має єдиний корінь на відрізку , f(x) неперервна на цьому відрізку і на його кінцях приймає значення різних знаків . При цьому поступають наступним чином. Обчисляють значення функції f(x) в середині відрізка . Якщо = 0, то

111

корінь знайдено .Якщо ≠ 0 , то для дальших обчислень вибирається та із двох одержаних половинок , на кінцях якої f(x) приймає значення різних знаків . Повторюючи ті самі міркування , ми все ближче наближаємось до кореня рівняння f(x)=0.

Приклад . Для рівняння х³ - х² – х – 2 =0 відомо, що воно має єдиний корінь на відрізку .Знайти цей корінь .

Нехай f(x)= х³ - х² – х – 2 .Так як f(-x)=-3<0, f(3)=13>0 і f(x) неперервна на [-1;3] , то можна застосувати метод половинного поділу .Обчисляємо значення функції в середині відрізка [-1;3] ;

< 0. Оскільки f(1) < 0, то розглянемо відрізок [1;3]. Обчислимо значення функції f(x) в середині одержаного відрізка : . Отже , х=2 – шуканий корінь .