Глава 3. Інтеграл і його застосування

§8. Невизначений інтеграл

1. Невизначений інтеграл і його властивості.

Означення 1. Функція y=F(x) називається первісною для функції y=f(x) на деякому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку .

Якщо y=F(x)─ первісна для функції y=f(x) на деякому проміжку, то існує нескінченно багато первісних для y=f(x) на цьому проміжку, і всі вони мають вигляд y=F(x)+C, де С─ довільна стала. Геометрично це означає, що графіки всіх первісних можна одержати із графіка якоїсь однієї з них переміщенням цього графіка вздовж осі у.

Означення 2. Сукупність первісних y=F(x)+C для функції y=f(x) на деякому проміжку називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається символом ∫ f(x)dx=F(x)+C.

Знаходження невизначеного інтеграла називають інтегруванням функції.

Таблиця основних інтегралів .

95

1) ∫ х^аdx= 2)

3) 4) ∫ ℮^xdx=℮^x+C;

5) ∫ cos x dx= sin x+C; 6) ∫ sin x dx = - cos x+C;

7) 8)

9) 10)

Щоб знайти невизначений інтеграл, достатньо звести його до табличного. Це часто вдається зробити шляхом перетворення підінтегрального виразу і застосування основних правил інтегрування:

1) ∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx, де к─ стала;

2) ∫ (f(x)± g(x))dx= ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx;

3) ∫ f(kx+b)dx= де k і b─ сталі.

Вправи

38. Знайти первісну функції: 1) f(x)=3x²; 2) f(x)=x⁶; 3) f(x)=8x⁷.

39. Перевірити, що функція F(x)=x⁵+3x²-cosх є первісною функції f(x)=5x⁴+6x+sinx.

40. Знайти інтеграли:

1) ∫ х⁶dx; 2) ∫ 8x³dx; 3) ∫

94

або ,

д

y

е a, b, c зв’язані між собою рівністю a²+b²=c² .

l₁

L₂

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі .

або .

Прямі і називаються асимптотами , їх рівняння мають вигляд : .

1. Парабола і її рівняння .

Параболою називається множина точок на площині, рівновіддалених від заданої точки ( яка називається фокусом) і даної прямої ( яка називається директрисою ).

Фокус параболи прийнято позначати буквою F , директрису – буквою d , відстань від фокуса до директриси – буквою р ( p>0) . Розглянемо основні випадки розміщення параболи відносно осей координат .

Y

Канонічне рівняння параболи , фокус якої розміщений на осі абсцис має вигляд або

26

Ексцентриситетом еліпса відношення відстані між фокусами до довжини великої осі . Ексцентриситет позначається буквою : .

Якщо ексцентриситет дорівнює нулю , то еліпс вироджується в коло .