Запитання для самоконтролю
1. Як визначають числовий ряд, його часткову суму, суму ряду?
2. Який ряд називають збіжним, розбіжним?
3. Як математично записати необхідну умову збіжності числового ряду?
4. Як формулюються достатні ознаки збіжності додатних числових рядів?
5. Які різновиди збіжності існують для знакозмінних числових рядів?
6. Коли застосовуються і як формулюється ознака Лейбніца?
7. Як визначають радіус, інтервал та область збіжності степеневого ряду?
§ 18. Ряди Фур’є
В багатьох технічних задачах виникає необхідність представляти довільні функції через простіші періодичні функції. Такі задачі часто виникають в електротехніці. Математичним апаратом для дослідження таких задач служать ряди Фур’є.
Нехай f(x) − 2 -періодична кусково-диференційовна на відрізку функція. Тоді ряд Фур’є цієї функції має вигляд
51
де f(x) і (y)− задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
Рівняння такого виду розв’язуються за допомогою розділення змінних.
Алгоритм розв’язання
1о. Виражають похідну функції через диференціали
dx і dy.
2о. Члени з однаковими диференціалами переносять в одну сторону рівності і виносять диференціал за дужку.
3о. Розділюють змінні.
4о.Інтегрують обидві частини рівності і знаходять загальний розв’язок.
5о. Якщо задані початкові умови, то знаходять частинний розв’язок.
Вправи
78. Складіть диференціальне рівняння, розв’язками якого є функції:
1) у= х2+С; 2) у=х3+С; 3) у=С℮2х; 4) у=Сх3;
5) у= (х– 1)3 .
79. Розв’яжіть рівняння:
1)
у′=3; 2)
3) у′+4х=0; 4)
5)
х′=2t3+3t+5;
6)
7)
8) y′=x+sinx;
9)
y′=℮-3x;
10) ℮xdx=ydy;
11)
12)
69
13)
14)
80. Розв’яжіть задачу Коші:
1) у′=3х2+2х+1, у(1)=4; 2) у′=4х-3, у(1)=2;
3)
у′=
,
у(0)=5/6; 4)
81. Розв’яжіть рівняння:
1)
xdy+2ydx=0;
2) x2dy=y2dx;
3)
4) y′=x;
5)
y′=y2cosx;
6) y′-y-1=0;
7)
8) y′=-y+2;
9)
10) (x2+1)dy-xydx=0; 11) y′=2x(y-1)2; 12) y′+ytgx=0.
82. Розв’яжіть задачу Коші:
1) xdy=ydx, y(2)=6; 2) 3y2dy=x2dx, y(3)=1;
3) y′=2+y, y(0)=3 ; 4) y′-y/x=0, y(1)=5;
5)
(x-1)dy=(y+1)dx, y(2)=3;
6)
ytgxdx+dy=0, y(
.
83. Проведіть через точку М(1;4) інтегральну криву рівняння:
1) у′
= у/х; 2) у′=2
3) у ′ = -у.
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Означення 4. Рівняння виду y′+py=q, де p і q − функції змінної х або сталі величини, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.
Якщо q=0, то рівняння приймає вигляд y′+py=0 і називається лінійним однорідним. Воно є рівнянням з відокремлюваними змінними.
68
Розв’язання.
R=
тобто R=2, ряд збігається в інтервалі (-2; 2 ).
Зауваження. На практиці інтервал збіжності степеневого ряду часто знаходять за ознакою Даламбера або ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду , складеного з модулів членів заданого ряду.
Вправи
103. Знайдіть радіус збіжності і область збіжності ряду:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
