Міністерство освіти і науки України

Чернівецький індустріальний коледж

збірник задач і вправ

з вищої математики

( для студентів інженерних спеціальностей)

Чернівці 2010

Використана література:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов М. Наука, 1990− 576 с.

2. Яковлєв Г. Н. Алгебра и начала анализа М. Наука, 1981− 336 с.

3. Афанасьєва О. Н. Сборник задач по математике для техникумов М.: Наука , 1987.− 208 с.

4. Лисичкин В. Т. Математика: Учеб. пособие для техникумов. − М.: Высш. шк., 1991.− 480 с.

5. Дубовик В.П. Вища математика: Збірник задач.− К.: Видавництво А.С.К., 2003.− 480 с.

1

Збірник задач і вправ з дисципліни „Вища математика” для студентів напрямку інженерних наук /Кузик М.В./ Чернівці: ЧІК , 2010.-108 с.

Укладач Кузик М.В., викладач вищої категорії, „Старший викладач”

Збірник складено у відповідності з діючою програмою з математики для коледжів на базі середньої школи.

Містить вправи і задачі, необхідні для розуміння основних понять і зв’язків між ними, вироблення навиків розв’язання типових задач і розширення математичного кругозору студентів.

Є вказівки що до розв’язання декотрих задач. В розділах даються короткі відомості по теорії, запитання для самоконтролю і повторення.

Для студентів денної та заочної форми навчання напрямку інженерних наук.

Рецензенти :

Кієвець Г.Г., викладач математики, викладач вищої категорії , викладач-методист.

Радзіковський В.Т., викладач спецелектро - технічних дисциплін, викладач вищої категорії, „Старший викладач”;

Розглянуто на засіданні циклової комісії „Загальноосвітніх дисциплін ”. Протокол № 8 від 12 квітня 2010 р.

Схвалено Методичною радою Чернівецького індустріального коледжу. Протокол № від травня 2010 р.

119

Глава 1. Функція

§1. Функції, їх властивості та графіки

▪ 1. Означення функції.

▪ 2. Область визначення функції.

▪ 3. Способи задання функції.

▪ 4. Основні властивості функцій.

▪ 5. Основні елементарні функції.

Залежність змінної у від змінної х називається функцією , якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у . Позначають y=f(x) .

Множина допустимих значень, яких набуває незалежна змінна х , називається областю визначення функції.

Існують різні способи задання функції: аналітичний, графічний, табличний, словесний.

Графік функції y=f(x)− це множина точок координатної площини виду (x; f(x)), де х − довільне число із області визначення функції.

Функція y=f(x) називається парною (непарною) ,якщо для кожного х із області визначення функції виконується рівність

f (-x) = f(x) ( f(-x) = -f(x)).

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а непарної відносно початку координат.

Функція y=f(x) називається періодичною, якщо існує таке число Т≠0, що для кожного х із області визначення функції виконується рівність

f(x-T) = f(x) = f(x+T).

Функція y=f(x) називається зростаючою ( спадною) на множині Х, якщо для будь-яких х₁ і х₂ із цієї множини і таких, що х₁<х₂ виконується нерівність f( x₁ ) < f( x₂ ) ( f(x₁) > f( x₂ )).

118

2

cos

1

0

Співвідношення в прямокутному трикутнику

c²=a²+b² (теорема Піфагора)

sin = ; cos ; tg .

Ф ормули площ і об’ємів

Основні елементарні функції вивчалися в школі. Нагадаємо коротко деякі із них. 3

1. Лінійна функція у=kx+b, де k і b─ дійсні числа. Графіком лінійної функції є пряма.

2. Степенева функція у=xⁿ, де n─ дійсне число. При п=2 одержимо квадратичну функцію у=х². Її графіком є парабола (рис.1а). При п=3 одержимо функцію у=х³, графіком якої є кубічна парабола (рис.1б). При п = -1 одержимо функцію у=1/х, графіком якої є гіпербола(рис.1в).

в

рис.1

3. Показникова функція у = а^х, де а>0, а≠1. Графік функції знаходиться у верхній півплощині. Вона зростає при а>1 і спадає при 0<a<1 (рис. 2а ).

4. Логарифмічна функція у = log_ax (a>0, a≠1). Ця функція є оберненою до показникової, тому графік її симетричний показниковій відносно бісектриси ‌‌1-го і 3-го координатних кутів (рис. 2б ).

рис. 2 117

5. Тригонометричні функції y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x (рис3). Вони є періодичними.

рис.3

Вправи

1. Обчисліть f (1), якщо f(x)=3x-2.

2. Дана функція f(x)=x²+1. Обчисліть значення: a) f(4); б) f( ); в)f(a+1) ; г)f(2a); є) f(a²).

3. Нехай f(x)=2^х. Обчисліть a) f(0); б)f(1); в)f(-1) ; г) f(2) ; є) f(-2).

Основні тригонометричні тотожності

116

1) sin +cos =1; 2) tg 3) ctg

4) 1+tg 5) 1+ctg 6) tg

7) sec 8) cosec

Подвійні і половинні аргументи

1) sin2 2sin cos ; 2) cos2 cos -sin ; 3) tg2 ; 4) 1+cos =2cos^{2 ;} 5) 1-cos =2sin^{2 .}

Перетворення добутку функцій в суму

cos cos ;

sin sin ;

sin cos .

Значення функцій деяких кутів

	0o	30o	45o	60o	90o
sin	0				1

Додаток

4

Формули з елементарної математики

Формули скороченого множення

(а b)² = a² 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

(a b)³ = a³ 3a²b + 3ab² b³

(a b)(a² a∙ b + b²) = a³ b³

Степінь

a⁰=1; a = ; a^-n=

a^m∙aⁿ=a^m+n; a^m: aⁿ=a^m-n; (a^m)ⁿ=a^mn;

(a∙b)^m = a^mb^m;

Логарифми

a>0; a≠1; b>0; b≠1; x>0; y>0

a =x; log_ax=

log_axⁿ=nlog_ax

log_a

Формули коренів квадратного рівняння ax²+bx+c=0:

x_1,2= ; ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂).

5

3. Функція задана формулою : 1) у=(х-1)/ 2; 2) у=(х²-1)/(2х+2); 3) у=-0,1х²-0,2х+0,3; 4) у= ; 5) у=1/х; 6) у=10 ; 7) у= .

Які із чисел -1, 0, 1 належать області визначення функції? Знайдіть відповідні їм значення функції. Побудуйте графіки функцій .

5. Знайдіть область визначення функції :

1) у= х³+2х²-3х+1; 2) ; 3)

4 ) ; 5) ; 6)

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

6. Вкажіть зростаючі (спадні) функції:

1) у=7; 2) у=1-х/2; 3) у=х²+2х+1; 4) у=-3/х; 5) у=(1/2)^-х;

6) у=‌‌ х+ .

7. Які із наступних функцій ─ парні, які − непарні, а які не належать ні одному з цих класів:

1) у=1; 2) у=х⁴+3х²+1; 3) у=2х-х²;

4) ; 5) ; 6)

115

7) у = х + sinx; 8) y=x²+sinx; 9) y=x cosx.

8. Підберіть значення а, b так, щоб функція у= ах+ b була:

1) парною; 2) непарною; 3) і парною і непарною.

9. Які із наступних функцій є періодичними? Знайдіть їх найменший період, якщо він існує:

1) y=5sin3x; 2) y = x²; 3) y = tg(2x-1); 4) y=cos(4x- );

5) y=sinx+cos5x ; 6) y = 5; 7) y = ctg(7-18x) .