44. Обчислити площі фігур, обмежених лініями:

1) у=4-х², у=0;

2) у=-х²+7х-10, у=0, х=2, х=3;

3) у= , х=-2, х=4 і у=0;

4) у=sinx і у=0, якщо

5) у=х² і у=2х;

6) у=х² і у=2х²-1;

7) у=х²-2х+3, у=3х-1;

8) y=cosx, x=0, x=2 і у=0;

9) х²-9у=0 і х-3у+6=0;

10) 4у-х³=0 і у-х=0. 83

45 Фігура, обмежена прямими у = -х+3, х=0, х=3 і у=0, обертається навколо осі Ох. Знайти об’єм утвореного тіла обертання.

46. Фігура, обмежена кривою у= і прямими х=2, х=3 і у=0. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням її навколо осі Ох.

47. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої кривою y=sin x і прямими х=0 і х= .

§ 11. Застосування визначеного інтеграла до розв’язування фізичних задач.

1.Знаходження шляху, пройденого тілом при прямолінійному русі.

Як відомо, шлях, пройдений тілом при рівномірному русі за час t, обчисляється по формулі S=vt.

Якщо тіло рухається нерівномірно в одному напрямі і швидкість його змінюється в залежності від часу t, тобто v=f(t), то для знаходження шляху, пройденого тілом за час від t₁ до t₂, використовується формула:

(3)

Задача . Швидкість руху матеріальної точки задається формулою Знайти шлях , пройдений тілом за перші 4с від початку руху .

Розв’язання . Згідно формули (3), маємо

82

3) вектор має такий напрям , що при спостереженні з його кінця найближчий поворот від вектора до вектора виконується проти годинникової стрілки .

Властивості векторного добутку

1) = 0 ( умова колінеарності векторів).

2) = -(

3)

Якщо вектори задано їхніми координатами і , то .

Фізичний зміст векторного добутку полягає в слідуючому Якщо - сила , а - радіус-вектор точки , що має початок в точці О , то момент сили відносно точки О є вектор , який дорівнює векторному добутку на , тобто m₀( )= .

Вправи

121 . а) Знайдіть довжину вектора , якщо А(-1;1;-1) і В(1;1;-1) .

б) Знайдіть довжину вектора , де О — початок координат і А(1;2;2) .

122. a) Знайдіть координати вектора , якщо А(0;1;-1) і В(1;-1;0) .

б) У трикутнику АВС А(2;1;3) , В(2;1;5) , С (0;1;1) . Знайдіть довжину медіани СМ .

123 . а) Від точки А відкладено вектор . Знайдіть координати точки В , якщо А(-1;5;0) , (1;-3;0) .

38

Скалярний добуток векторів і визначають за формулою

При додаванні двох і більше векторів їх однойменні координати додаються. Тобто .

При відніманні векторів їх однойменні координати віднімаються . Тобто .

При множенні вектора на число кожна координата вектора множиться на це число . Тобто .

Кут між векторами і знаходять за формулою : .

Якщо косинус кута між векторами дорівнює нулю , то вони перпендикулярні .