1.5.Степенные функции.

Степенная функция с натуральным показателем y=  , где n  N  непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечетное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция y= .Степенная функция с четным показателем необратима. Однако если сузить ее область определения до области неотрицательных чисел, то обратной к ней функцией также будет y=  , где x ≥ 0. На множестве (–∞; 0) функцией, обратной к функции y=  (n – натуральное четное число) будет y= .

Рис 5.Степенная и обратная ей функции.

Итак, если x > 0, то при любом натуральном n функция обратима, а обратная к ней функция обозначается как или . Функция также определена и непрерывна на множестве положительных чисел.

Свойства функции y =

1. D(f)=( );

2. Четная функция;

3. Убывает на луче ( ; возрастает на луче ;

4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;

5. =0, не существует;

6. Непрерывна;

7. E(f)= ;

8. Выпукла вниз.

Свойства функции y =

1. D(f)=( );

2. Нечетная функция;

3. Возрастает;

4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;

5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. Непрерывна;

7. E(f)= ;

8. Выпукла вверх на ( выпукла вниз на [0;

Свойства функции y =

1. D(f)=( ) (0; );

2. Четная функция;

3. Убывает на открытом луче (0 ; возрастает на открытом луче ;

4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;

5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. Непрерывна при x и при x>0;

7. E(f)= ;

8. Выпукла вниз и при x , и при x>0.

Свойства функции y =

1. D(f)=( ) (0; );

2. Нечетная функция;

3. Убывает на открытом луче (0 и на открытом луче ;

4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;

5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. Непрерывна при x и при x>0;

7. E(f)= ;

8. Выпукла вверх при x ; выпукла вниз при x>0.

1.6. Зависимость вида + = .

Графиком данного уравнения является окружность на координатной плоскости x Oy с центром в точке O(a;b) и радиусом r (r>0).

График данного уравнения нельзя назвать графиком функции, т.к. нарушается определение функции: каждому значению x соответствует единственное значение y.

1.7. Движение функций по осям координат.

Чтобы построить график функции y=f(x+l), где l – заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси x на l единиц масштаба влево.

Чтобы построить график функции y=f(x-l), где l – заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси x на l единиц масштаба вправо.

Чтобы построить график функции y=f(x)+m, где m – заданное положительное число, надо сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси y на m единиц масштаба вверх.

Чтобы построить график функции y=f(x)-m, где m - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси y на m единиц масштаба вниз.

Алгоритм 1 построения графика функции y=f(x+l)+m:

1. Построить график функции y=f(x).

2. Осуществить параллельный перенос графика y=f(x) вдоль оси x на единиц масштаба влево, если l>0, и вправо, если l<0.

3. Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси y на единиц масштаба вверх, если

Алгоритм 2 построения графика функции y=f(x+l)+m:

1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя пунктиром вспомогательные прямые x=-l, y=m, т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку (-l;m).

2. Новой системе координат привязать график функции y=f(x).

Рис 6. Функция у=1.9