Решение:
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности:
Из
уравнения
получаем
либо
(что
противоречит условию
).
Решением уравнения
соответствуют
две точки единичной окружности, одна
из которых лежит в первой четверти (и
значит, для нее неравенство
не
выполняется), а другая — в четвертой
четверти (для нее неравенство
выполняется,
и решение уравнения дается формулой
).
Теперь осталось выписать решение
простейшего тригонометрического
уравнения
,
т. е.
,
и записать ответ.
Ответ:
;
.
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С2 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
2 |
Верно описана геометрическая конфигурация, построен или описан геометрический объект, который нужно найти, но получен неверный ответ или решение не закончено. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
Решение:
Пусть
M
и N —
середины ребер AS
и BC
соответственно. Прямая AS
проектируется на плоскость основания
и прямую AN.
Поэтому проекция точки M —
точка
—
лежит на отрезке AN.
Значит, прямая AN
является проекцией прямой MN,
следовательно, угол
—
искомый.
где
O —
центр основания, значит,
—
средняя линия треугольника ASO
потому
—
AO.
Тогда
и
Из
прямоугольного треугольника
находим:
Из
прямоугольного треугольника
находим:
Значит,
искомый угол равен
Ответ:
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С3 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
При верной последовательности рассуждений получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. |
2 |
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
Решите неравенство .
Решение:
.
Сделав
замену переменной
,
получаем:
1) 2) Ответ: .
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С4 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ. |
2 |
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=4 и BC=10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM=4 при этом — точка пересечения прямых BM и CM Площадь треугольника MNP равна Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.