1.2.4. Оценка погрешности вычислений

(косвенные измерения)

При косвенных измерениях, величины являются данными для определения посредством вычислений некоторой величины R, которая является известной функцией

(1.39)

В этом случае возникает необходимость в определении ошибки обусловленной ошибками измерения величин .

Измеренные значения величин ,b,…r можно представить в виде:

(1.40)

r =

Тогда:

(1.41)

Разлагая функцию R в ряд Тэйлора по степеням получаем:

(чл. в. п.) (1.42)

В разложении ввиду малости ошибок а, b,…r можно пренебречь членами второго и высших порядков малости.

Тогда, если - истинное значение величины R, то:

(1.43)

а ошибка будет равна:

(1.44)

Частные производные называют коэффициентами влияния ошибок измерения (первичных ошибок) а, b, r.

Частные производные функции R должны вычисляться для истинных значений параметров от которых они зависят:

(1.45)

Однако на практике истинные значения измеренных величин неизвестны, поэтому коэффициенты влияния вычисляют для средних значений измеренных параметров , которые отличаются от истинных значений на величину того же порядка что и ошибки измерения

(1.46)

Это приводит к появлению ошибки второго порядка малости в формуле что несущественно, т.к. вычисляется также с точностью до величин второго порядка малости.

Поскольку ошибки измерения являются случайными ошибками, то величина R и ошибка ее вычисления R также случайные величины.

Поэтому за истинное значение величины R принимают ее наиболее вероятное значение

(1.47)

где:

. . .

а точность ее вычисления оценивают среднеквадратической ошибкой ,

в которой значения a, b, … заменены средними квадратическими погрешностями

(1.48)

где:

= , ,

, ,

. . .

, .

Значения характеризуют точность определения истинных значений .

При нормальном законе распределения ошибок измерения с вероятностью 0,997:

Соответственно истинное значение величины R определяется с вероятностью

0,683 ,

0,954 ,

0,997 .

Степень влияния первичных ошибок измерения величин на точность вычисления значения P определяется относительной долей каждого слагаемого в формуле для

,

, (1.49)

…

Для повышения точности определения значения (уменьшение ) необходимо в первую очередь повышать точность измерения той из величин коэффициент к которых имеет наибольшее значение.

Рассмотренная методика справедлива, когда измерения величин производится независимо друг от друга.