2. Оценка точности измерения одной величины

Пусть истинное значение некоторой величины, которое надо измерить равно Для повышения точности измерения проводят несколько независимых измерений. Вследствие наличия неизбежных ошибок измерения, в каждом замере получают значение этой величины а, отличное от на величину ошибки

(1.27)

. . .

Будем считать, что ошибки измерений обусловлены действием только случайных факторов и являются случайными.

Из свойства случайных ошибок известно, что среднее арифметическое случайных ошибок равно нулю при достаточно большом числе измерений

поэтому использовать его для оценки точности измерений нельзя.

Наилучшим критерием является средняя квадратическая ошибка, квадрат которой равен среднему арифметическому квадратов отдельных случайных ошибок

; (1.28)

Так как на практике в большинстве случаев значение неизвестно (за исключением измерений по сравнению с эталоном), среднеквадратическая ошибка определяется по формуле Бесселя

, (1.29)

где в качестве оценки истинного значения измеряемой величины принимается ее среднеарифметическое значение т.е. полагают = . Это равенство тем точнее, чем больше n.

Важным свойством среднеквадратической ошибки является ее надежность при ограниченном числе измерений.

Ошибки измерений обычно подчиняются нормальному закону распределения с параметрами (рис.1.2.)

- математическое ожидание,

- среднеквадратическое отклонение

(1.30)

Результат измерения также является в этом случае нормально распределенной величиной ( ) с параметрами

(1.31)

Как следует из нормального закона распределения ошибка измерения величина а в отдельных замерах с вероятностью 0,997 не превосходит . Это значение ошибки принимается в качестве максимальной

(1.32)

Практически все результаты отдельных замеров величины а (99,7%) находятся в пределах

  (1.33)

Те замеры , ошибка которых по абсолютному значению превосходит , отбрасывается как явные выбросы.

Таким образом в качестве истинного значения измеряемой величины мы принимаем среднее арифметическое значение, а оценку точности производим по значению или .

2. Оценка точности определения среднего арифметического

Поскольку число замеров n обычно ограничено, то равенство не выполняется точно, а среднее арифметическое само является случайной величиной с характеристиками:

мат. ожидание

среднеквадратическое отклонение

Из выражения следует, что при одной и той же точности отдельных измерений , значение уменьшается с увеличением числа замеров пропорционально корню квадратному из n .

В пределе

Для оценки абсолютной погрешности пользуются понятием доверительного интервала и доверительной вероятности .

Доверительным интервалом соответствующим доверительной вероятности называется интервал длиной центром которого является вычисленное значение среднего арифметического и внутри которого с вероятностью заключено истинное значение измеряемой величины .

ыа

  (1.34)

Другими словами, вероятность того, что абсолютная погрешность не превзойдет равна доверительной вероятности

(1.35)

Доверительный интервал характеризует абсолютную ошибку определения по значению а доверительная вероятность - соответствующую этой точности гарантийную надежность.

По данной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал и наоборот.

В зависимости от важности проводимых измерений доверительная вероятность принимается равной 0,5; 0,6; … 0,9; 0,99.

Абсолютную ошибку обычно выражают через относительную длину доверительного интервала

(1.36)

Для ограниченного числа измерений (n  10) для определения значения и заданной вероятности пользуются законом распределения Стьюдента

, , (1.37)

Для этого закона рассчитаны таблицы вероятности с двумя входами - и с помощью которых по заданной доверительной вероятности и числу измерений n определяется относительный доверительный интервал

Табл.1

 n-1	0,1	0,2	0,3
1	0,158	0,325	0,510
2	0,142	0,289	0,445
3	0,137	0,277	0,224

. . .

при достаточно большом числе измерений n пользуются нормальным законом распределения.

В инженерной практике чаще всего для указания точности измерения величины а вместо доверительного интервала применяют запись вида

, (1.38)

которое справедливо с вероятностью 0,997.