- •Введение
- •1. Общая задача линейного программирования
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •2. Графический метод решения задач линейного программирования
- •2.1. Задача с двумя переменными
- •2.2. Графический метод решения задач линейного программирования с п переменными
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •3. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •3.1. Симплекс-метод
- •3.2. Симплексные таблицы
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •4. Теория двойственности
- •4.1. Виды математических моделей двойственных задач
- •4.2. Первая теорема двойственности
- •4.3. Вторая теорема двойственности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Транспортная задача линейного программирования
- •5.1. Формулировка транспортной задачи
- •5.2. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список рекомендуемой литературы:
4.3. Вторая теорема двойственности
Пусть имеется симметричная пара двойственных задач
Теорема. Для того чтобы допустимые решения Х= (х1, х2, ..., хп), Y=(y1, y2, ..., yт) являлись оптимальными решениями пары двойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства:
Пример 1. Для данной задачи составить двойственную, решить ее графическим методом и, используя вторую теорему двойственности, найти решение исходной задачи:
F(X) = -2x1 + 2х2 + 10х3 + 4х4 + 2х5→ min,
Решение. Составим двойственную задачу: Z(Y) = 2у1 + 3у2→ max,
Р ешим эту задачу графическим методом. На рис. 4.1 изображены область допустимых решений задачи, нормаль п = (2, 3) линий уровня, линии уровня 2у1 + 3у2 = с и оптимальное решение задачи Y* = (3, 4).
Рис. 4.1.
2у1=6 у1*=3, у2*=4.
Y *=(3,4).
Z(Y *)=2·3+3·4=18.
Подставим оптимальное решение Y *= (3, 4) в систему ограничений. Получим, что первое, второе и пятое ограничения выполняются как строгие неравенства:
По второй теореме двойственности следует, что соответствующие координаты оптимального решения двойственной задачи, т.е. исходной задачи, равны нулю: х1* = х2* = х5*=0. Учитывая это, из системы ограничений исходной задачи получим
Отсюда находим х3*= 1, х4* = 2. Окончательно записываем X*=(0,0,1,2,0).
Ответ: min F(X) = 18 при X* = (0, 0, 1, 2, 0).
Пример 2. Для данной задачи составить двойственную, решить ее графическим методом и, используя вторую теорему двойственности, найти решение исходной задачи:
F(X) = 5x1 + 3х2 + 4х3 -х4 → max,
Решение. Составляем двойственную задачу Z(Y) =3y1 + 3у2→min,
Р ешаем ее графическим методом (рис. 4.2). Для этого строим область допустимых решений (ОДР), нормаль п = (3, 3), линии уровня 3у1 + 3у2 = с. Перемещаем линии уровня до опорной прямой. Оптимальное решение (точку Y*) найдем, решая совместно уравнения прямых L1 и L2 соответствующих первому и третьему неравенствам.
Рис. 4.2.
Используем вторую теорему двойственности. Подставляем координаты оптимального решения двойственной задачи Y* = (1, 2) в систему ограничений:
Второе и четвертое ограничения выполняются как строгие неравенства, следовательно, вторая и четвертая координаты оптимального решения исходной задачи равны нулю: х2* = 0, х4* = 0. Учитывая это, первую и третью координаты оптимального решения X* находим при совместном решении уравнений-ограничений:
3х1 = 3 => х1* = 1, х3* = 1.
Ответ: max F(X) = 9 при X* = (1, 0, 1, 0). •
Задачи для самостоятельного решения
1. Составить и решить симплексным методом задачу, двойственную следующей: максимизировать функцию F =x1+ x2 +x3 при ограничениях
2. Симплексным методом найти максимум функции F =x1+ x2 при ограничениях
Составить двойственную задачу и решить её симплексным методом.
3. Найти максимум функции F =2x1-3 x2 при ограничениях
Решить задачу симплексным методом, затем составить двойственную задачу и решить ее геометрически.
4. Найти минимум функции F =2x1+4 x2 при ограничениях
Решить задачу геометрически, затем составить двойственную задачу и решить ее симплексным методом.
Ответы: 1. Z min = 4/3; 2. F max = Z min =9; 3. F max =∞, двойственная задача не имеет решений; 4. F min = Z max =22.