Определение неизвестных при нескольких видах воздействий

При расчете статически неопределимой системы на несколько видов загружения (воздействий) для определения неизвестных (усилий в методе сил или перемещений в методе перемещений) можно пойти двумя путями:

– столько раз решать систему канонических уравнений, сколько задано воздействий или

– найти обратную матрицу, и тогда многократное решение системы уравнений не потребуется. Это приводит к существенному сокращению объема вычислений. Покажем, как это можно сделать на примере системы уравнений второго порядка.

₍₁₎

Уравнения представим в матричной форме

Ах ₊ b=0,

где A= , x= b= .

Решение системы уравнений (1) можно представить в виде

х = –А^–1 × b, (2)

где А^–1 –обратная матрица.

Покажем, как может быть получена матрица A^–1 , пользуясь, например, формулами Крамера

где

= = a₁₁b₂ – a₂₁b₁.

Откуда .

Следовательно, А^–1 =

⁽³⁾

Проверим правильность решения, используя известное соотношение

АА^–1 = Е = .

В нашем примере получаем

AA = = = .

Решение выполнено верно.

Если загружений несколько, матрица А остается неизменной, а две другие матрицы, например, в случае, когда загружений три, выглядят так:

x = , b = , (4)

где x_ik – искомые неизвестные, i – номер неизвестного, k – номер загружения ; b_ik – свободные члены, i – номер свободного члена.

Подставляя выражения (3) и (4) в (2), получаем

= –

и, перемножив матрицы, находим неизвестные

= – . (5)

Список рекомендуемой методической литературы

1. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика.–М. : Высшая школа,1986.– 607 с.

2. Строительная механика: Стержневые системы. А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников.–М,: Стройиздат,1981.–510 с.

3. Клейн Г.К., Леонтьев Н.Н., Ванюшенков М.Г. и др. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (статика стержневых систем).–М., 1980.–384 с.

4. Дьяконов В. MATLAB. Учебный курс.–Санкт–Петербург, Москва, Харьков, Минск, : Питер, 2001.–553 с.

5. Соломин В.И. Элементы линейной алгебры в строительной механике: учебное пособие.–Челябинск., 2000.–38 с.

6. Соломин В.И.Решение задач строительной механики с помощью математической системы MATLAB: Учебное пособие.– Челябинск: Изд. ЮурГУ,2002.–19 с.

66