Экзаменационный билет № 6

1).Языки и системы моделирования

UML (сокращенно от английского Unified Modeling Language) – модифицированный язык, язык графического описания для объектного моделирования в области разработки ПО. UML является языком широкого профиля – это открытый стандарт, использующий графические обозначения для создания абстрактной модели системы – UML-модели. Он был создан для определения визуализации, проектирования и документирования в основном программных систем, не является языком программирования, но в средствах выполнения UML-моделей возможно изменение кода.

Использование

Не ограничивается моделированием ПО. Использует для моделирования бизнес-процессов, системного проектирования и отображения организационных структур. UML позволяется также разработчикам ПО достигнуть соглашения в графических обозначениях для представления общих понятий (например: компонент, объединение, класс и другие) и больше сконцентрироваться на проектировании и архитектуре.

2) Однофакторный, многофакторный эксперимент

Однофакторный пассивный эксперимент проводится путем выполнения n-пар измерений в дискретные моменты времени единственного входного параметра x и соответствующих значений выходного параметра y.

Целью однофакторного пассивного эксперимента является построение регрессионной модели – установление зависимости y=f(x).

Переменную x принятой называть факторной. Теория планируемого эксперимента изучает только активный тип эксперимента, когда имеется возможность независимо и целенаправленно менять значения факторов x во всем требуемом диапазоне.

Факторы в эксперименте бывают качественными и количественными.

Качественные факторы можно квантифицировать или приписать им числовые обозначения, тем самым перейти к количественным значениям.

Переменным y можно сопоставить геометрическое понятие факторного пространства – пространства, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Совокупность конкретных значений всех факторов образуют точку в многомерном факторном пространстве.

Примеры факторов: интенсивность потока запросов к БД, скорость передачи данных по каналу, объем ЗУ и т. д.

Кроме того на объект воздействуют возмущающие факторы. Они являются случайными и не поддаются управлению.

Многофакторный пассивный эксперимент проводится при контроле значений нескольких входных параметров x_i и его целью является установление зависимости выходного параметра от двух и более переменных y=F(x₁, x₂, …, x_i).

Полный факторный эксперимент предполагает возможность управлять объектом по одному или нескольким независимым каналам

3) Проанализируйте и опишите: метод какого порядка Рунге-Кутгы считается классическим и почему?

Семейство методов Рунге-Кутта.

Анализ метода Эйлера показывает, что глобальная ошибка дискретизации есть O(h). Это обычно выражают утверждением, что метод Эйлера имеет первый порядок. Практическим следствием этого факта является ожидание того, что при уменьшении h приближённое решение будет всё более точным и при стремлении h к нулю будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h; т.е. мы ожидаем, что при уменьшении шага h вдвое ошибка уменьшится примерно в два раза.

Очень медленная сходимость при уменьшении h характерна для методов первого порядка и служит препятствием для их использования. Как пример одного из подходов к построению методов, погрешность которых при стремлении h к нулю убывает с более высокой скоростью, мы рассмотрим Метод Хьюна, определяемый формулой

yk+1 =yk + h[f(xk ,yk ) + f(xk+1 ,yk + h f(xk ,yk ))]

(1)

Обратите внимание, что мы просто заменили f(xk ,yk ) в методе Эйлера на среднее значение функции f, вычисленных в двух различных точках. Метод Хьюна известен также как метод Рунге-Кутта второго порядка и, как мы вскоре покажем, имеет локальную ошибку дискретизации O(h2 ). Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод четвёртого порядка, задаваемый формулой

yk+1 =yk + h(F1 +2F2 +2F3 + F4 )/6

(2)

где

F1 = f(xk ,yk ) , F2 = f(xk + h/2 , yk + h F1 /2) ,

F3 = f(xk + h/2 , yk + h F2 /2) ,

F4 = f(xk + h , yk + h F3 ).

Здесь f(xk ,yk ) в методе Эйлера заменено на среднее взвешенное значение f, вычисленных в четырёх различных точках.

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка является одношаговым, также как и метод Эйлера, который иногда называют методом Рунге-Кутта первого порядка. Все такие методы могут быть представлены в общем виде как

yk+1 =yk + h g(xk ,yk )

(3)

с соответствующей функцией g. В случае метода Эйлера функцией g является сама f, в то время как для метода Хьюна

g(x,y)= [f(x,y)+ f(x+h, y+hf(x,y))]

(4)

Соответствующая функция для метода Рунге-Кутта четвёртого порядка может быть записана в виде, аналогичном (4).

Для любого одношагового метода (3) определим локальную ошибку дискретизации аналогично методу Эйлера соотношением

L(h)= maxa x b-h |L(x,h)| L(x,h)= [y(x+h)-y(x)]/h - g(x,y(x))

(5)

где y(x) -точное решение дифференциального уравнения. Если для данной функции g окажется, что L(h)=O(h p ) при некотором целом p, то при соответствующих предположениях относительно функций g и f можно показать, что глобальная ошибка дискретизации будет также порядка p по h , т.е.

E(h) = max1 k N | yk -y(xk)|= O(h p )

(6)

Порядок метода (3) определяется как целое p, для которого такое определение порядка является некоторым утверждением о свойствах самого метода. При этом предполагается, что решение дифференциального уравнения y имеет ограниченные производные до определённого порядка. Например, для метода Эйлера p=1 в предположении max_{a x b} y''(x) = M. Для других методов может потребоваться ограниченность производных решения и функции f более высокого порядка.