Тема №1: Математические понятия.

1) Что нужно знать об объекте, чтобы иметь представление о нем? Чтобы иметь представление об объекте нужно знать его существенные свойства.

2) Какие свойства объекта различают? Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения.

3) Что называют содержанием понятия? Содержание понятия — это совокупность существенных и отличительных признаков предмета, качества или множества однородных предметов, отражённых в этом понятии

4) Дать определения объема понятия. Объем понятия- это отображенное в нашем сознании множество предметов, каждый из которых имеет признаки, зафиксированные в исследуемом понятии.

5) Какова взаимосвязь между объемом и содержанием понятия? Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия.

Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А содержание первого понятия больше содержания второго, так как равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.

6) Что называется определением понятия? Определение понятия - это логическая операция, в процессе которой раскрывается содержание понятия.

7) Приведите примеры явных определений (неявных определений). Явные определения раскрывают существенные признаки предмета; к неявным относятся определение через отношение предмета к своей противоположности, контекстуальное, остенсивное и некоторые другие виды определений. Явное определение: «Радиус-это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности»., «Уравнение- это равенство, содержащее неизвестную величину». Неявные определения: «Свобода -есть познанная необходимость»; «Возможность — потенциальная действительность»; «Действительность — реализованная возможность».

8) Какие определения называются контекстуальными? Остенсивные? В контекстуальном определении содержание понятия раскрывается в относительно самостоятельном по смыслу отрывке письменной или устной речи (контексте). Определение остенсивное(от лат. ostentus - показывание, выставление напоказ) неявное определение, раскрывающее содержание понятия путем непосредственного показа, ознакомления обучаемого с предметами, действиями и ситуациями, обозначаемыми данным понятием. Можно, напр., предъявить стол и сказать: "Это - стол, и все вещи, похожие на него, тоже столы"

9) Как определить понятие через род и видовое отличие? (приведите примеры). Определение через ближайший род и видовые отличие - это логический прием определения понятия, который заключается в том, что отыскивается ближайший род и отличительные признаки, имеющиеся только у данного вида предметов. Например : «четные числа- это натуральные числа кратные 2», родовое понятие — натуральные числа, видовые отличия — кратны числу 2. «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны» Четырехугольник – родовое понятие, видовые отличия- противоположные стороны параллельны»

10) Какие требования предъявляются для оценки правильности явных определений? Определения должны быть научно правильными. Это означает, что, определяя то или иное понятие, надо это сделать так, чтобы не исказить научный смысл этого понятия. Так, например, смысл понятия «отношение» (в математике) состоит в том, что оно есть какое-то число. Между тем иногда это понятие определяют так: «Отношение есть сравнение двух чисел или величин посредством деления». Но сравнение есть некоторый процесс, а не число. Определения не должны содержать «порочного круга». В определении понятия через ближайший род и видовые отличия нужно следить за тем, чтобы использовался ближайший род, но не образовывался порочный круг. «Угол называется прямым, если его стороны перпендикулярны». Определение должно содержать указание на ближайшее родовое понятие. Как бы ни было построено определение математического понятия, в нем должно быть указано ближайшее родовое понятие к определяемому понятию. Нарушение этого требования приводит к различным ошибкам. «Параллелограмм есть фигура, у которой противоположные стороны параллельны». В этом определении указано не ближайшее для параллелограмма родовое понятие — «четырехугольник», а более далекое, более широкое — «фигура». И тем самым это определение становится неверным, ибо фигурой, у которой противоположные стороны параллельны, может быть не только параллелограмм, но и, например, правильный шестиугольник. Определение не должно быть тавтологией, т. е. повторяющей в иной словесной форме ранее сказанное. Сущность такой ошибки заключается в том, что понятие определяется через само себя. Вот примеры тавтологии в некоторых определениях: «Сложением называется действие, при котором числа складываются» Определение должно быть достаточным. Это означает, что в определении должны быть указаны все признаки, позволяющие однозначно выделить объекты определяемого понятия. Если же это требование нарушается, то под определение можно подвести не только объекты определяемого понятия, но и другие объекты. Например, медиану треугольника определили следующим образом: «Медианой треугольника называется отрезок, делящий его сторону пополам». Очевидно, что и в этом определении указано недостаточное число признаков медианы. Поэтому под это определение подходят не только медиана треугольника, но и средняя линия (ведь и она делит сторону треугольника пополам) и вообще любой отрезок, делящий сторону треугольника пополам. Для построения правильного определения медианы треугольника надо добавить еще и такой признак: «Медиана выходит из вершины треугольника». Тогда получаем такое правильное определение: «Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны». Определение не должно быть избыточным.

Это означает, что в определении не должно быть указано лишних признаков, являющихся следствием других признаков определяемого понятия. Например, весьма часто встречается такое определение ромба: «Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны между собой». Это определение явно избыточное, ибо достаточно равенства двух смежных сторон параллелограмма для того, чтобы были равны все его стороны.

Темы: №2, №3 Математические предложения. Математические доказательства.

1) Чем характеризуется математическое предложение? Суждение – это такая форма мышления, в которой отражается наличие или отсутствие самого объекта, наличие или отсутствие его свойств, связей. Математическое суждение принято называть предложением.

2) Что называют логическими связками? Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Логическая связка — это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.

3) Дайте определение высказывания. Высказывание — термин математической логики, обозначающий формализованную структурированную запись мысли с помощью буквенных символов и логических связок, рассматриваемую с точки зрения истинностных значений.

4) Когда высказывание «А и В» истинно? «А и В» истинно только тогда, когда они одновременно истинны.

5) Когда истинно высказывание вида «А или В»? Отрицание высказывания А? высказывание вида «А или В» истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно. Отрицание высказывания А логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот.

6) Какие слова называются кванторами? КВАНТОР [< лат. quantum сколько] - символ математической логики; логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в результате ее применения.

7) Назовите кванторы общности и существования. - квантор общности (для любого, все и т. д.) - квантор существования (существует, для некоторых).

8) Как устанавливается истинность высказываний с кванторами общности и существования? Для доказательства утверждения с квантором общности необходимо убедиться в том, что при подстановке каждого из значений х высказывание обращается в истинное . Если множество Х конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же множество Х бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде. Чтобы убедиться в истинности высказывания с квантором существования, достаточно привести пример и таким образом доказать.