Темы №6,№7,№8: Этапы развития натурального числа и нуля. Системы счислений.
1) Дать определение натурального числа.
Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте предметов (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
2) Дать определение отрезка натурального ряда.
Отрезком
N натурального ряда называется
множество натуральных чисел, не
превосходящих натурального числа а,
т.е N = {х|х
N и х
а}.
3) Что называется счетом элементов множества?
Пересчитать элементы конечного множества X - это значит установить взаимно однозначное соответствие между множеством X и отрезком натурального ряда Na , число а будет называться числом элементов в множестве X и обозначаться n(X) = а
Правила пересчета:
начинать пересчет можно с любого элемента множества,
ни один элемент не должен быть пропущен,
каждый элемент считают
4)число отвечает на вопрос «сколько элементов в множестве?» и выражается числительными «один», «два», «три», и т.д.
Порядковое натуральное только один раз.
4) В чем заключается теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля?
Рассмотрим смысл количественного числа с теоретико-множественных позиций, используя понятие равномощности множеств. Пусть А — конечное множество, отбёрем в один класс все равномощные ему множества. В - другое, неравномощное А множество. Отобрав все множества, равномощные В, получим новый класс равномощных множеств. Этот процесс можно продолжить, тогда все конечные множества окажутся распределенными по классам эквивалентности, причем любые два множества одного класса будут равномощными, а любые два множества различных классов — неравномощными.
Общее свойство всех множеств одного класса эквивалентности — одинаковая мощность (одинаковое число элементов) - считают натуральным числом. Например, общее свойство множеств, равномощных множеству вершин треугольника, есть натуральное число «три», а общее свойство множеств, равномощных множеству сторон прямоугольника, - натуральное число «четыре». Т.о., с теоретико—множественных позиций количественное натуральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств. Каждому классу соответствует только одно натуральное число, каждому натуральному числу — только один класс равномощных конечных множеств. Каждому конечному множеству А соответствует одно и только одно натуральное число а=n(А), цоказывающее количество элементов в каждом множестве данного класса.
с теоретико-множественных позиций «нуль» ставится в соответствие пустому множеству: 0=n(Ø).
5) Какой смысл имеет натуральное число, если оно получено в результате измерения величины?
К возникновению натуральных чисел привела не только потребность счета, но и задача измерения величин. Рассмотрим, каков смысл натурального числа, на примере одной величины — измерение отрезков.
Натуральное число как значёние длины отрезка. Как происходит измерение длин отрезков? Прежде всего из множества отрезков выбирают некоторый отрезок е называют его единичным отрезком или единицей длины. Затем сравнивают данный отрезок а с единичным отрезком е. Если отрезок а состоит из n отрезков, равных единичному отрезку е, то пишут:
а = е+е+. . . +е = nе - и натуральное число n называют численным значением длины отрезка а при единице длины е.
Численным значением отрезка а при единице длины е является число 4. Можно записать: а=4е. Если в качестве единичного отрезка выбрать другой отрезок, то числовое значение отрезка а изменится. Для каждого натурального числа n существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Т. о. натуральное число как численное значение длины отрезка а показывает, из скольких выбранных единичных отрезков е слагается отрезок а. При выбранной единице длины е это число единственное.