- •Розділ 1. Математичні основи синтезу логічних схем
- •1.1. Деякі поняття і визначення булевої алгебри
- •1.2. Способи задання булевих функцій
- •1.3. Булеві функції від однієї і двох змінних
- •1.4. Принцип суперпозиції логічних функцій. Пріоритет операцій
- •1.5. Аксіоми та закони булевої алгебри
- •Аксіоми кон’юнкції, диз’юнкції і заперечення:
- •1.7. Аксіоми та закони алгебри Жегалкіна
- •1. Комутативний закон
- •2. Сполучний закон
- •3. Розподільний закон по відношенню до додавання за модулем 2
- •1.8. Аксіоми та закони для функцій Шеффера та Пірса
- •1.9. Аналітичне подання булевих функцій
- •1.10. Класи булевих функцій. Теорема про повноту
- •1.11. Розвинення логічних функцій за змінними
- •1.12. Зв’язок між дднф і дкнф. Канонічні нормальні форми
1.3. Булеві функції від однієї і двох змінних
Будь-яку логічну функцію, яка залежить від n змінних (n>2), можна виразити через функції від однієї або двох змінних. Тому логічні функції, що залежать від нуля, однієї і двох змінних, посідають особливе місце в теорії логічних функцій. Ці функції називають елементарними функціями.
Розглянемо ці функції.
При є дві різні функції: і . Функцію називають константою 0, а функцію – константою 1.
При є чотири , які наведено в табл. 7. Ці функції описують роботу одновходових цифрових схем.
Таблиця 7
-
x
0
1
Функція
Назва функції
0
0
Константа 0
0
1
Еквівалентність
1
0
Інверсія x
1
1
Константа 1
Булеві функції і є константами 0 і 1; вони приймають відповідно значення 0 і 1 при всіх значеннях аргументу, тобто збігаються з функціями нуля змінних. Ці функції описують схеми, виходи яких постійно під’єднані до рівнів логічного нуля і логічної одиниці відповідно. Значення функції співпадає зі значенням аргументу x. Логічний пристрій, який реалізує , називають повторювачем і в схемах позначають так, як показано на рис. 2,а. Булева функція перетворює 0 в 1, а 1 в 0. Таке перетворення називають інвертуванням. Логічний пристрій, який реалізовує цю функцію, називають інвертором або логічним елементом “НЕ” (рис. 2.б)
Європейська система позначень
а) б)
x 1 x 1
Американська система позначень
x
x
Рис. 2
Булеві функції від двох змінних (їх всього ) подано в табл. 8.
Усі булеві функції від двох змінних можна розбити на п’ять груп:
В групу I входять функції і , які зберігають постійні значення 0 і 1, відповідно, тобто, вони є константами.
В групу II входять чотири функції , , і , які істотно залежать тільки від одного аргументу. Це вироджені функції. Решта (десять) функцій залежать від двох змінних.
В групу III входять чотири функції, які приймають значення 1 тільки на одному наборі: (набір 11), (набір 10), (набір 01) і (набір 00).
В групу IV входять чотири функції (двоїсті до функцій третьої групи), які на трьох наборах приймають значення 1 і тільки на одному наборі — значення 0, а саме: (набір 00), (набір 01), (набір 10) і (набір 11).
В групу V входять дві функції, які істотно залежать від кожного із аргументів і приймають на двох наборах значення 0, а на двох — значення 1: , яка на наборах 01 і 10 приймає значення 1, а на наборах 11 і 00 приймає значення 1; , яка на наборах 00 і 11 приймає значення 1, а на наборах 01 і 10 приймає значення 0.
Таблиця 6 |
||||||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
Функція |
Назва функції |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
I |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Константа 0 |
III |
0 |
0 |
0 |
1 |
“І” |
Кон’юнкція |
III |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Заборона по |
II |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
Тотожно |
III |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
Заборона по |
II |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
Тотожно |
V |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
Сума по модулю 2 |
IV |
0 |
1 |
1 |
1 |
“АБО” |
Диз’юнкція |
III |
1 |
0 |
0 |
0 |
“АБО-НЕ” |
Стрілка Пірса |
V |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
Еквівалентність |
II |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
Інверсія |
IV |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
Імплікація |
II |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
Інверсія |
IV |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
Імплікація |
IV |
1 |
1 |
1 |
0 |
“І-НЕ” |
Штрих Шеффера |
I |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Константа 1 |
З наведених 16-ти логічних функцій на практиці використовуються шість:
1. (функція “ I ”),
2. (функція “АБО”),
3. (сума за модулем 2),
4. (еквівалентність або заперечення суми за модулем 2),
5. (функція Пірса або “ АБО – НЕ”),
6. (функція Шеффера або “ І – НЕ”.
Логічні елементи, які реалізовують дані функції, мають аналогічні назви, а їх позначення наведено на рис. 3,а-е.
Європейська система позначень
а) б) в)
& 1 =1
г) д) е)
& =1
Американська система позначень
Рис. 3