II. Прямая линия на плоскости

§7. Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется её направляющим вектором.

Замечание. Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, любые два из них коллинеарны, так как они параллельны одной прямой.

Положение прямой определено однозначно, если даны её направляющий вектор и некоторая её точка или две точки прямой.

Определение 2. Нормалью к прямой называется любая ей перпендикулярная прямая. Её направляющий вектор называется нормальным вектором данной прямой.

Теорема 1. Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀) и имеющая нормальный вектор (a;b), задаётся уравнением:

a(x-x₀)+b(y-y₀)=0 (1)

Доказательство.

1) Докажем, что координаты любой точки M(x;y) прямой удовлетворяют уравнению (1).

Имеем: (x-x₀;y-y₀), (a;b). => =0 => a(x-x₀)+b(y-y₀)=0.

2) Докажем, что координаты любой точки N(x;y), не лежащей на данной прямой, уравнению (1) не удовлетворяет.

Действительно, _┴ => ≠0 => a(x-x₀)+b(y-y₀)≠0.

Согласно определения 1 из §6 уравнение вида (1) – уравнение данной прямой.

Теорема доказана.

Теорема 2. Прямая, проходящая через две данные точки M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂), задаётся уравнением:

(2)

Доказательство.

1) Пусть M(x;y) произвольная точка данной прямой.

=(x-x₁;y-y₁),

=(x₂-x₁;y₂-y₁).

|| => их соответствующие координаты пропорциональны и справедливо равенство (2).

2) Пусть точка N(x;y) не лежит на прямой, тогда || и равенство (2) не выполняется.

По определению уравнение вида (2) – уравнение данной прямой.

Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение прямой, содержащей медиану CD треугольника ABC с вершинами: A(1;-4), B(3;2), C(5;-1).

1)

2) CD(2-5;-1-(-1))=(-3;0).

Пусть M(x;y) – произвольная точка данной прямой.

y = -1 – уравнение CD.

Или: y = -1.

§8. Общее уравнение прямой

Теорема 1. 1) Всякое уравнение первой степени вида

ax + by + c = 0, (1)

где хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, является уравнением прямой с нормальным вектором (a;b);

2) Обратно, уравнение любой прямой может быть записано в виде (1).

Доказательство.

1) Уравнение (1) имеет бесконечное множество решений – пар чисел вида (x;y). Пусть (x₀;y₀) – одно из решений. Тогда:

ax₀ + by₀ + c = 0. (2)

Вычтем (2) из (1):

a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0. (3)

По теореме 1 из §7 это уравнение определяет прямую, проходящую через точку M₀(x₀;y₀) и имеющую нормальный вектор (a;b).

2) Пусть дана некоторая прямая и M₀(x₀;y₀) – некоторая точка этой прямой, а (a;b) – нормальный вектор этой прямой. Согласно теореме 1 из §7 она имеет уравнение:

a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0.

Иначе:

ax + by - (ax₀ - by₀) = 0 или

ax + by + c = 0, где c = -ax₀ - by₀.

Теорема доказана.

Замечания.

1) Вектор (-b;a) является направляющим вектором прямой c уравнением (1). Действительно,

2) Любая алгебраическая линия 1-го порядка есть прямая линия.

Определение. Уравнение (1) называется общим уравнением прямой, а x и y – текущими координатами точки прямой.

Частные виды общего уравнения прямой.

1. ax+by=0.

2. Координаты точки О – начала координат удовлетворяют уравнению: , следовательно прямая проходит через начало координат.

Пример 1. x + 2y = 0, M(-2;1).

y = 1 => x + 2 = 0, x = -2.

2)

, .

Прямая параллельна оси Oy и отсекает на оси Ox отрезок a₀. Если a₀ = 0, то уравнение x = 0 задает ось ординат Oy.

3) .

, .

Прямая параллельна оси Ox и отсекает на оси Oy отрезок b₀. Если b₀ = 0, то уравнение y = 0 задает ось абсцисс Ox.

Пример 2. Построим прямую, заданную уравнением 2x – 3y – 6 = 0.

Для построения прямой по её уравнению достаточно знать два элемента, определяющие её. Этими элементами могут быть: а) направляющий вектор и некоторая точка прямой; б) две точки, лежащие на прямой.

а) , M₀(6;2).

б) => => A(3;0) – точка пересечения данной прямой с осью Ox.

=> => B(0;-2) – точка пересечения данной прямой с осью Oy.