- •I. Метод координат на плоскости
- •§ 1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 3. Переход к новой аффинной системе координат
- •§ 4. Прямоугольная декартова система координат
- •1) При системах координат одинаковых типов:
- •2.) При системах координат различных типов:
- •§5. Полярная система координат
- •§6. Геометрический смысл уравнений и неравенств в координатах
- •II. Прямая линия на плоскости
- •§7. Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки
- •§8. Общее уравнение прямой
- •§9. Другие способы задания прямой
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Уравнение прямой в отрезках на осях координат
- •30. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§10. Взаимное расположение точки и прямой
- •§ 11. Взаимное расположение двух прямых
- •Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .
- •§ 12. Нормальное уравнение прямой. Полярное уравнение прямой. Пучок прямых
- •III. Линии второго порядка
- •§13. Эллипс («Недостаток»)
- •§14. Директрисы эллипса
- •§15. Исследование уравнения эллипса
- •1. Оси и центры
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Другие уравнения эллипса
- •§16. Гипербола («Избыток» - греческий)
- •§17. Исследование уравнения гиперболы
- •1. Оси и центр
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Асимптоты ( от греческого – несовпадающий, не касающийся)
- •§18. Парабола (“приложение”)
- •§19. Исследование уравнения параболы
- •1. Ось и вершина
- •2. Расположение относительно оси и директрисы
- •3. Фокальная хорда
- •4. Другие виды уравнения параболы
- •§20. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •§21. Общее уравнение линии второго порядка
- •IV Преобразование плоскости
- •§21. Понятие отображения.
- •§22. Отображения фигур на плоскости.
- •§23. Композиция отображений.
- •§24.Обратное отображение.
- •§25. Группа преобразований.
- •§26. Группа движений.
- •Классификация движений плоскости:
- •§27. Формулы движений.
- •§28. Группа симметрий фигуры.
- •§29. Группа преобразований подобия.
- •§30. Формулы подобия.
- •§31. Группа аффинных преобразований.
- •§32. Применение преобразований плоскости к решению задач.
- •V. Метод координат в пространстве
- •§22. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве
- •§23. Векторное произведение векторов
- •§24. Смешанное произведение векторов
- •VI. Плоскости и прямые
- •§ 1. Общее уравнение плоскости
- •§26. Специальные виды уравнений плоскости
- •§27. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 28. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§ 29. Связка плоскостей и пучок плоскостей
- •§ 30. Способы задания прямой в пространстве
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Канонические уравнения прямой
- •30. Связка прямых
- •40. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •50. Общие уравнения прямой
- •§31. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§ 32. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •VII. Поверхности второго порядка
- •§33. Общее уравнение поверхности второго порядка
- •§34. Эллипсоид
- •§35. Однополостный гиперболоид
- •§36. Двуполостный гиперболоид
- •§37. Эллиптический параболоид
- •§38. Гиперболический параболоид
- •§39. Цилиндрические поверхности
- •§40. Конические поверхности
- •§41. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
- •10. Однополосный гиперболоид.
- •20. Гиперболический параболоид.
IV Преобразование плоскости
§21. Понятие отображения.
Определение 1: пусть имеются две фигуры F и G – множество точек, причем произвольной точке М фигуры F соответствует определенная точка фигуры G. Тогда:
это соответствие называется отображением фигуры F в фигуру G;
точка называются образом точки ;
точка называется прообразом точки ;
если точки и совпадают ( ), то точка М называется неподвижной или двойной точкой отображения;
фигура , состоящая из образов всех точек фигуры , называется образом фигуры F.
Обозначения:
F – отображение;
или
или .
пусть F=AB – гипотенузы прямоугольного , G=AC прямая соединяющая его катет АС, f – ортогональное проектирование на прямую АС.
Имеем
C – образ В: f(В)=С, В/ C;
М/ -образ М: f(М)=М/, где М АВ=F;
А – неподвижная очка преобразования f: f(А)=А/, А=А/.
Точка D АС не имеет прообраза в фигуре F F/ G.
F G – F/ является подмножеством множества точек G.
Катет АС – образ гипотенузы АВ=F:
f(F)=АС=F/.
Замечание 1: по определению каждая точка М фигуры F при отображении f в фигуру G имеем один образ М/. Число же прообразов для М для точки М/ фигуры G может быть различным (большим или равным одного).
Определение 2: если каждая точка фигуры G имеем хотя бы одон прообраз в фигуре F, то отображение f: F G называется сюръекцией и в этом случае говорят об отображении фигуры G/
F на G (сюръекция).
f(А)=А/ - точка А/ имеет один прообраз в F.
f(В)=В/ - точка В/ имеет два прообраза в F.
З
Определение 3: если для любых двух различных точек М1 М2 фигуры F f(М1) f(М2), то отображение f фигуры F в фигуру G называется инъекцией.
Определение 4: если отображение одновременно является сюръекцией и инъекцией, то оно называется взаимно однозначным отображением фигуры F на фигуру G или биекцией.
А/= f(А), В/= f(В), С/= f(С). Точки А/, В/, С/ фигуры G имеют один и только один прообраз, f(А) f(В) f(С); f – биекция.
Замечание 3: биекция является частным случаем сюръекции (каждая точка фигуры G имеет единственный прообраз).
Определение 5: инвариантными отображениями называются свойства фигур, тела или функции, связанные с фигурами, которые сохраняются при этом отображении.
Пример 2: в примере 1 имеем (f – ортогональное проектирование).
длина отрезка не является инвариантом ортогонального проектирования f на каким АС точек гипотенузы АВ, так как АМ А/М/;
отношение (число) λ, в котором точка М делит отрезок АВ, является инвариантом отображения f, так как по теореме Фалеса;
свойство точки М «лежать между» точками А и В является инвариантом отображения f, так как при нем М/также лежит между А/ и В/.
§22. Отображения фигур на плоскости.
Определение 1: формулы связывающие координаты x/, y/ образа М/ произвольной точки М и ее координаты x, y относительно выбранной (аффинной или прямоугольной декартовой) системы координат Оxy, называются формулами или уравнениями соответствующего отображение.
Определение 2: отображения фигуры F называется тождественным, если все точки фигуры F являются тождественными (двойными).
Обозначение: ε; ε(F)=F; формулы: ε:
О пределение 3: параллельным переносом фигуры F называется ее отображение, при котором все ее точки смещаются на одно и тоже расстояние в одном направлении.
Е сли обозначить , то говорят о параллельном переносе на вектор α и пишут: F/= (F) .
Выведем формулы параллельного переноса.
Пусть , М(x; y), М/(x/;y/). Тогда - по определении 3 или в координатах
Определение 4: поворотом фигуры F вокруг центра С на направленный угол α называется ее отображение, при котором:
точка С является неподвижной;
л юбая точка М F отображается на такую точку М/, что СМ=СМ/ и .
Обозначение:
С
Определение 5: центральной симметрией с центром С называется поворотом вокруг центра С на угол α=π.
Обозначение: М/=ZC(M)= .
П
У
Определение 6: осевой симметрией c осью р называется отображение фигуры F, при котором ее любая точка М отображается на точку М/, симметричную точке М относительно прямой р.
ММ/ р, М0=ММ/∩р,
ММ0=М0М/.
Р – прямая неподвижных точек
(например, точки М0, N0, K0).
Обозначение: М/=Sр(М).
Пример 2: р=Ох
Sох:
у
Пример 3: р=Оу
Sох: