- •I. Метод координат на плоскости
- •§ 1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 3. Переход к новой аффинной системе координат
- •§ 4. Прямоугольная декартова система координат
- •1) При системах координат одинаковых типов:
- •2.) При системах координат различных типов:
- •§5. Полярная система координат
- •§6. Геометрический смысл уравнений и неравенств в координатах
- •II. Прямая линия на плоскости
- •§7. Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки
- •§8. Общее уравнение прямой
- •§9. Другие способы задания прямой
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Уравнение прямой в отрезках на осях координат
- •30. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§10. Взаимное расположение точки и прямой
- •§ 11. Взаимное расположение двух прямых
- •Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .
- •§ 12. Нормальное уравнение прямой. Полярное уравнение прямой. Пучок прямых
- •III. Линии второго порядка
- •§13. Эллипс («Недостаток»)
- •§14. Директрисы эллипса
- •§15. Исследование уравнения эллипса
- •1. Оси и центры
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Другие уравнения эллипса
- •§16. Гипербола («Избыток» - греческий)
- •§17. Исследование уравнения гиперболы
- •1. Оси и центр
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Асимптоты ( от греческого – несовпадающий, не касающийся)
- •§18. Парабола (“приложение”)
- •§19. Исследование уравнения параболы
- •1. Ось и вершина
- •2. Расположение относительно оси и директрисы
- •3. Фокальная хорда
- •4. Другие виды уравнения параболы
- •§20. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •§21. Общее уравнение линии второго порядка
- •IV Преобразование плоскости
- •§21. Понятие отображения.
- •§22. Отображения фигур на плоскости.
- •§23. Композиция отображений.
- •§24.Обратное отображение.
- •§25. Группа преобразований.
- •§26. Группа движений.
- •Классификация движений плоскости:
- •§27. Формулы движений.
- •§28. Группа симметрий фигуры.
- •§29. Группа преобразований подобия.
- •§30. Формулы подобия.
- •§31. Группа аффинных преобразований.
- •§32. Применение преобразований плоскости к решению задач.
- •V. Метод координат в пространстве
- •§22. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве
- •§23. Векторное произведение векторов
- •§24. Смешанное произведение векторов
- •VI. Плоскости и прямые
- •§ 1. Общее уравнение плоскости
- •§26. Специальные виды уравнений плоскости
- •§27. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 28. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§ 29. Связка плоскостей и пучок плоскостей
- •§ 30. Способы задания прямой в пространстве
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Канонические уравнения прямой
- •30. Связка прямых
- •40. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •50. Общие уравнения прямой
- •§31. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§ 32. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •VII. Поверхности второго порядка
- •§33. Общее уравнение поверхности второго порядка
- •§34. Эллипсоид
- •§35. Однополостный гиперболоид
- •§36. Двуполостный гиперболоид
- •§37. Эллиптический параболоид
- •§38. Гиперболический параболоид
- •§39. Цилиндрические поверхности
- •§40. Конические поверхности
- •§41. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
- •10. Однополосный гиперболоид.
- •20. Гиперболический параболоид.
§23. Векторное произведение векторов
Определение 1. Векторным произведением двух ненулевых неколлинеарных векторов называется вектор , такой что:
длина вектора равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними:
вектор перпендикулярен этим векторам и
векторы , образуют базис того же типа, что и векторы (правый базис).
Если же векторы коллинеарны или хотя бы один из них нулевой вектор, то их векторное произведение есть нулевой вектор
Обозначение: или
Теорема 1. (О геометрическом смысле векторного произведения). Длина векторного произведения двух ненулевых неколлинеарных векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Доказательство.
Следствие. Площадь ∆ C выражается формулой:
Теорема доказана.
Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было нулевым вектором:
Доказательство.
Необходимость. Пусть , тогда согласно определению 1 либо , либо , либо , либо , либо . Во всех этих случаях вектора коллинеарны по определению.
Достаточность. Пусть , тогда снова по определению 1
Теорема доказана.
Следующие три теоремы сформулируем без доказательства.
Теорема 3. Векторное произведение антикоммутативно (антисимметрично):
Теорема 4. Векторное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя:
Теорема 5. Векторное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:
Теорема 6.
Доказательство.
Доказательство следует из определения 1.
Пусть, например, , тогда имеем:
⟹ ⟹ .
Замечание. Достаточно запомнить первую формулу, вторая получается из первой, а третья – из второй с помощью круговой или циклической замены векторов
Теорема 7. (О координатах векторного произведения). Если в прямоугольном базисе (ортогональном) ( и , то
Доказательство.
Воспользуемся определением координат вектора и теоремами 3, 4, 5 и 6:
(см. определение определителя 3-его порядка)
Теорема доказана.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(-1,0,-1), В(0,2,-3), С(4,4,1).
Решение.
,
По следствию из теоремы 1 имеем: (кв.ед.).
§24. Смешанное произведение векторов
Определение 1. Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов на вектор .
Обозначение. (
Можно показать, что
Теорема 1. Абсолютная величина (модуль) смешанного произведения трёх неколлинеарных векторов равна объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Доказательство.
Введём обозначения: , ∠(
Тогда имеем:
( (1)
По теореме 1 из §2 имеем:
(2)
Пусть - высота параллелепипеда ( .
Из ∆
Случай 1:
Случай 2:
В обоих случаях получаем:
. (3)
Подставляя значения (2) и (3) в формулу (1), окончательно получаем:
(
Итак,
. (4)
Теорема доказана.
Следствие 1.
. (5)
Доказательство следствия.
Следствие доказано.
Следствие 2. Знак смешанного произведения тройки некомпланарных векторов соответствует её ориентации, то есть если тройка правая, то , если тройка левая, то
Следствие 3. Три вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Доказательство следствия.
Если тройка векторов коллинеарная, то объём параллелепипеда, построенного на векторах этой тройки, равно нулю. Обратно, если VПАР = 0, то вектора тройки коллинеарны.
Следствие доказано.
Замечание. Из трёх неколлинеарных векторов , можно составить шесть упорядоченных троек: причём первые три тройки векторов образуют правый базис, а последние три – левый базис (большой, указательный, средний пальцы).
При перестановке любых двух векторов в каждой из первых троек получается копия – либо из трёх последних, поэтому в результате меняется ориентация упорядоченных троек векторов.
Если в упорядоченной тройке векторов осуществить циклическую перестановку векторов, то непосредственной проверкой убедимся, что при этом ориентация упорядоченной тройки векторов не меняется.
Из теоремы 1 следует, что при перестановке векторов в упорядоченной тройке модуль скалярного произведения не меняется, так как во всех случаях он равен объёму одного и того же параллелепипеда. Так же от скалярного произведения зависит ориентации тройки векторов.
Следствие 4.
(6)
Пример.
Используя формулу (6), то есть определение 1 дано корректно.
Теорема 2.
Теорема 3.
Доказательства теорем 2 и 3 следуют из свойств определителя 3-го порядка; мы их опускаем (см. теорему 4).
Теорема 4. Если в ортонормированном базисе
то
(7)
Доказательство. .
Теорема доказана.