- •I. Метод координат на плоскости
- •§ 1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 3. Переход к новой аффинной системе координат
- •§ 4. Прямоугольная декартова система координат
- •1) При системах координат одинаковых типов:
- •2.) При системах координат различных типов:
- •§5. Полярная система координат
- •§6. Геометрический смысл уравнений и неравенств в координатах
- •II. Прямая линия на плоскости
- •§7. Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки
- •§8. Общее уравнение прямой
- •§9. Другие способы задания прямой
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Уравнение прямой в отрезках на осях координат
- •30. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§10. Взаимное расположение точки и прямой
- •§ 11. Взаимное расположение двух прямых
- •Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .
- •§ 12. Нормальное уравнение прямой. Полярное уравнение прямой. Пучок прямых
- •III. Линии второго порядка
- •§13. Эллипс («Недостаток»)
- •§14. Директрисы эллипса
- •§15. Исследование уравнения эллипса
- •1. Оси и центры
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Другие уравнения эллипса
- •§16. Гипербола («Избыток» - греческий)
- •§17. Исследование уравнения гиперболы
- •1. Оси и центр
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Асимптоты ( от греческого – несовпадающий, не касающийся)
- •§18. Парабола (“приложение”)
- •§19. Исследование уравнения параболы
- •1. Ось и вершина
- •2. Расположение относительно оси и директрисы
- •3. Фокальная хорда
- •4. Другие виды уравнения параболы
- •§20. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •§21. Общее уравнение линии второго порядка
- •IV Преобразование плоскости
- •§21. Понятие отображения.
- •§22. Отображения фигур на плоскости.
- •§23. Композиция отображений.
- •§24.Обратное отображение.
- •§25. Группа преобразований.
- •§26. Группа движений.
- •Классификация движений плоскости:
- •§27. Формулы движений.
- •§28. Группа симметрий фигуры.
- •§29. Группа преобразований подобия.
- •§30. Формулы подобия.
- •§31. Группа аффинных преобразований.
- •§32. Применение преобразований плоскости к решению задач.
- •V. Метод координат в пространстве
- •§22. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве
- •§23. Векторное произведение векторов
- •§24. Смешанное произведение векторов
- •VI. Плоскости и прямые
- •§ 1. Общее уравнение плоскости
- •§26. Специальные виды уравнений плоскости
- •§27. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 28. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§ 29. Связка плоскостей и пучок плоскостей
- •§ 30. Способы задания прямой в пространстве
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Канонические уравнения прямой
- •30. Связка прямых
- •40. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •50. Общие уравнения прямой
- •§31. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§ 32. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •VII. Поверхности второго порядка
- •§33. Общее уравнение поверхности второго порядка
- •§34. Эллипсоид
- •§35. Однополостный гиперболоид
- •§36. Двуполостный гиперболоид
- •§37. Эллиптический параболоид
- •§38. Гиперболический параболоид
- •§39. Цилиндрические поверхности
- •§40. Конические поверхности
- •§41. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
- •10. Однополосный гиперболоид.
- •20. Гиперболический параболоид.
§32. Применение преобразований плоскости к решению задач.
З адача 1: доказать, что изо всех треугольников с данным основанием и данный высотой наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник (осевая симметрия).
Дано: в ∆АВС, АС=ВС,
в ∆АВС1, АС1 ВС1, СС1║АВ,
т.к. высота h – общая.
Доказать: АВ+АС+СВ АВ+АС1+С1В (1)
Доказательство.
Рассмотрим осевую симметрию , при этом . Пусть ∠А=α, так как АС=СВ; ∠ВСС1=∠АВС=α – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ║СС1 и секущей ВС. Тогда ∠С1СВ1=∠ВСС1=α – так как осевая симметрия сохраняет величину угла. Далее имеем: ∠АСВ1=∠АВС+∠ВСС1+∠С1СВ1=(180°-2α)+α+α=180° ⇒ точки А, В1, С лежат на одной прямой.
Из ∆АС1В1 имеем: АВ1=АС+СВ1 АС1+С1В1, то СВ1=СВ, С1В1=С1В – так как осевая симметрия сохраняет длину отрезка. Тогда получаем:
АС+СВ АС1+С1В.
Прибавляя к обеим частям последнего неравенства АВ, получаем требуемое равенство (1):
АВ+АС+СВ АВ+АС1+С1В.
Задача 2: построить трапецию по четырем ее сторонам а, b, c, d (параллельный перенос).
Анализ.
П редположим, что искомая трапеция АВСD построена: АВ=а, ВС=b, СD=c, DA=d. Для определенности будем считать, что а с и b d. Рассмотрим параллельный перенос , при этом А1= (А). Тогда можно построить ∆А1ВС по трем сторонам: А1В=а-с, ВС=b, А1С=d, а затем и всю трапецию АВСD.
II. Построение.
∆А1ВС по трем сторонам а-с, b, d.
Параллелограмм А1СDA по двум сторонам с и d и углу α.
III. Доказательство.
Трапеция АВСD искомая, так как АВ║СD и АВ=а, ВС=b, СD=c, DA=d по построению.
IV. Исследование.
Задача имеет и при том единственное решение.
Если , то есть, существует ∆А1ВС. Если это условие не выполнено, то задача решений не имеет.
Задача 3 (теорема о прямой Эйлера): во всяком треугольнике точка пересечения медиан и высот лежат на одной прямой с центром описанной окружности (прямой Эйлера).
Д оказательство.
Пусть в ∆АВС точки А1, В1, С1 – основания медиан, М – точка пересечения медиан (центр тяжести ∆АВС, Р – точка пересечения высот (ортоцентр ∆АВС), О- центр описанной окружности.
Так как все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в одном и том же отношении 2:1, считая от вершины, то точке М есть центр гомотетии треугольников АВС и А1В1С1:
∆ А1В1С1= (∆АВС), ( ), К= .
Эта гомотетия отображает высоты ∆АВС соответственно на высоты ∆ А1В1С1, так как перпендикулярность прямых сохраняется при гомотетии. Но высоты ∆ А1В1С1– это прямые А1О, В1О и С1Р. Следовательно, гомотетия переводит точку Р в точку О. Так как соответственные (гомотетичные) точки в гомотетии лежат на одной прямой с центром М гомотетии, по теореме доказана.
Задача 4: построить треугольник по двум его углам α и β, и биссектрисе d третьего угла (гомотетия).
Анализ.
Легко построить ∆А1В1С по двум его углам α и β, А1В1 имеет произвольную длину. Тогда ∆АВС∾∆ А1В1С1 и дальнейшие построения очевидны.
П остроение.
∆А1В1С: ∠СА1В1=∠α,
∠А1В1С=∠β, А1В1 – произвольно;
СD1 – биссектриса угла С;
D CD: CD=d;
AB║A1B1, D AB.
Доказательство.
∆АВС – искомый,
так как ∆АВС = (∆А1В1С),
где
( – по
определению гомотетии).
Задача имеет решение, и при том единственное, если α+β 180° и любая d; если же α+β 180°, то задача не имеет решения.
Задача 5: доказать, что середина М и N оснований АВ и СD, точка Р пересечения ее диагоналей и точки Q пересечения продолжений ее боковых сторон, лежат на одной прямой (гомотетия).
Д оказательство.
Рассмотрим гомотетию , отображающую точку А на точку D (К= ). Тогда отображает прямую АВ на параллельную ей прямую СD (по условию АВ║СD). Следовательно: С= (В).
Так как гомотетия сохраняет отношение, в котором точка делит отрезок (простое отношение трех точек), то она отображает середину М отрезка АВ на середину N отрезка CD. Но тогда прямая МN, соединяющая соответственные точки М и N, проходит через центр Q гомотетии .
Аналогично, рассматривая гомотетию , отображающую точку N на точку N на точку М, докажем, что и точка Р лежит на прямой MN. ( , так как ).
Задача 6: решим предыдущую задачу с использованием свойств аффинного преобразования плоскости.
Доказательство.
Т ак как любые два треугольника аффинно-эквивалентны, то ∆АВQ можно отобразить с помощью некоторого аффинного преобразования плоскости f на равнобедренный ∆ А/В/Q/.
Так как при этом параллельность прямых сохраняется, то данная трапеция АВСD отображается на равнобокую трапецию А/В/С/D/. так как сохраняет и простое отношение трех точек прямой, то середина М и N оснований данной трапеции АВСD отображаются на середины М/ и N/оснований равнобокой трапеции А/В/С/D/.
Так как ∆А/В/Q/ - равнобедренный, то его высота Q/M/ является его осью симметрии проходит через точки М/ и N/. Так как точки А/ и В/, D/ и С/ симметричны относительно высоты Q/M/, то диагонали А/С/ и В/D// также симметричны относительно нее, тогда их точка пересечения Р/ лежит на оси симметрии.
Таким образом, точки М/, N/, P/, Q/ лежат на одной прямой. Следовательно, при преобразовании f-1 соответственные им точки также окажутся на одной прямой
Задача 7: двое игроков поочередно на прямоугольный стол одинакового достоинства монеты. При этом монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Доказать, что первый игрок всегда может выиграть.
Доказательство.
Первый игрок кладет монету в центр стола, а затем кладет монеты симметрично монетам второго игрока относительно центра стола. При такой игре первый игрок всегда имеет возможность сделать очередной ход. Поскольку игра заканчивается через ходов, где S площадь стола, а - площадь монеты. Первый игрок выигрывает.