- •I. Метод координат на плоскости
- •§ 1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 3. Переход к новой аффинной системе координат
- •§ 4. Прямоугольная декартова система координат
- •1) При системах координат одинаковых типов:
- •2.) При системах координат различных типов:
- •§5. Полярная система координат
- •§6. Геометрический смысл уравнений и неравенств в координатах
- •II. Прямая линия на плоскости
- •§7. Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки
- •§8. Общее уравнение прямой
- •§9. Другие способы задания прямой
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Уравнение прямой в отрезках на осях координат
- •30. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§10. Взаимное расположение точки и прямой
- •§ 11. Взаимное расположение двух прямых
- •Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .
- •§ 12. Нормальное уравнение прямой. Полярное уравнение прямой. Пучок прямых
- •III. Линии второго порядка
- •§13. Эллипс («Недостаток»)
- •§14. Директрисы эллипса
- •§15. Исследование уравнения эллипса
- •1. Оси и центры
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Другие уравнения эллипса
- •§16. Гипербола («Избыток» - греческий)
- •§17. Исследование уравнения гиперболы
- •1. Оси и центр
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Асимптоты ( от греческого – несовпадающий, не касающийся)
- •§18. Парабола (“приложение”)
- •§19. Исследование уравнения параболы
- •1. Ось и вершина
- •2. Расположение относительно оси и директрисы
- •3. Фокальная хорда
- •4. Другие виды уравнения параболы
- •§20. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •§21. Общее уравнение линии второго порядка
- •IV Преобразование плоскости
- •§21. Понятие отображения.
- •§22. Отображения фигур на плоскости.
- •§23. Композиция отображений.
- •§24.Обратное отображение.
- •§25. Группа преобразований.
- •§26. Группа движений.
- •Классификация движений плоскости:
- •§27. Формулы движений.
- •§28. Группа симметрий фигуры.
- •§29. Группа преобразований подобия.
- •§30. Формулы подобия.
- •§31. Группа аффинных преобразований.
- •§32. Применение преобразований плоскости к решению задач.
- •V. Метод координат в пространстве
- •§22. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве
- •§23. Векторное произведение векторов
- •§24. Смешанное произведение векторов
- •VI. Плоскости и прямые
- •§ 1. Общее уравнение плоскости
- •§26. Специальные виды уравнений плоскости
- •§27. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 28. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§ 29. Связка плоскостей и пучок плоскостей
- •§ 30. Способы задания прямой в пространстве
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Канонические уравнения прямой
- •30. Связка прямых
- •40. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •50. Общие уравнения прямой
- •§31. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§ 32. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •VII. Поверхности второго порядка
- •§33. Общее уравнение поверхности второго порядка
- •§34. Эллипсоид
- •§35. Однополостный гиперболоид
- •§36. Двуполостный гиперболоид
- •§37. Эллиптический параболоид
- •§38. Гиперболический параболоид
- •§39. Цилиндрические поверхности
- •§40. Конические поверхности
- •§41. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
- •10. Однополосный гиперболоид.
- •20. Гиперболический параболоид.
§35. Однополостный гиперболоид
Однополостный гиперболоид задается своим каноническим уравнением:
. (1)
1. Плоскости, оси и центр симметрии
Как и в случае эллипсоида доказывается, что однополостный гиперболоид с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех осей координат и начала координат.
Таким образом, оси координат служат осями однополостного гиперболоида, а начало координат – его центром.
2. Вершина
Ox:
Oy:
Oz: точек пересечения нет.
Определение. Действительными осями однополостного гиперболоида называются те оси, с которыми он пересекается. Третья ось, с которой он не пересекается, называется мнимой осью. Числа a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида.
3. Главные сечения
Сечение плоскостью Oyz: - гипербола с мнимой осью Oz (вершина на оси Oy).
Сечение плоскостью Oxz: - гипербола с мнимой осью Oz (вершина на оси Ox).
Сечение плоскостью Oxy: - эллипс с полуосями a и b.
4. Сечение плоскостью, параллельной плоскости Oxy
αǁOxy: или . (2)
Уравнения (2) определяют эллипс с полуосями при любом . Если h=0, то полуоси принимают наименьшие значения: a1=a, b1=b. Полученное главное сечение называется горловым эллипсом.
Если , то полуоси a1, b1 неограниченно возрастают.
5. Сечение плоскостью, параллельной плоскости Oyz
βǁOxy: (3)
Возможны три случая:
Уравнения (3) определяют гиперболу с мнимой осью, параллельной оси Oz:
и полуосями , .
Уравнения (3) определяют пару прямых, пересекающихся в точках (±a;0;0):
.
Уравнения (3) определяют гиперболу с мнимой осью, параллельной оси Oy:
и полуосями , .
Аналогичный результат получается и при пересечении поверхности с уравнением (1) плоскости γ с уравнением y = h, где γ ║ Oxz.
Изобразим теперь однополостный гиперболоид, используя проведенное выше исследование его формы.
6. Виды однополостных гиперболоидов
а) Если a = b, например, то уравнение (1) задает поверхность вращения, а именно однополостный гиперболоид вращения.
(4)
Эта поверхность получается вращением гиперболы с уравнениями вокруг оси Oz, то есть вокруг мнимой оси гиперболы.
б) Однополостный гиперболоид с центром O’(x0,y0,z0) и полуосями a, b, c, параллельными осям координат, имеем уравнение:
(5)
Пример. Изобразить поверхность второго порядка в : .
Решение.
однополостный гиперболоид вращения, a = c = 1, b = 2; ось вращения – ось Oy.
§36. Двуполостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид задается своими каноническим уравнением
или (1)
1. Плоскости, оси и центр симметрии
Из уравнения (1) следует, что поверхность симметрична относительно всех плоскостей координат, всех координатных осей и начала координат. Таким образом, двуполостный гиперболоид имеет три оси и один центр – начало координат.
2. Вершины
Точки пересечения с осью Oz: , C1(0, 0, c), C2(0, 0, -c).
Легко видеть, что точек пересечения с другими осями координат нет:
Ось Ox: .
Ось Oy: .
Определение. Действительной осью двуполостного гиперболоида называется та ось, с которой он пересекается. Две другие оси называется мнимыми (с ними двуполостный гиперболоид не пересекается).
3. Главные сечения
. (1)
Сечение плоскостью OYZ: гипербола с действительной осью OZ.
Сечение плоскостью OXZ: гипербола с действительной осью OZ.
Сечение плоскостью OXY: пустое множество точек (мнимый эллипс).
4. Сечение плоскостью, параллельной плоскости OXY
║OXY: или (2)
Возможны три случая.
а) и плоскость α двуполостный гиперболоид не пересекает, так как система (2) не имеет решений.
б) и имеет систему
сечением является либо точка C1(0, 0, c), либо C2(0, 0, -c), то есть одна из вершин двуполостного гиперболоида.
в) и имеет систему
(3)
Второе уравнение системы (3) задает эллипс , где .
Если , то полуоси этого эллипса и неограниченно возрастают.
Аналогично можно показать, что сечениями поверхности с уравнением (1) плоскостями β: x = h и γ: y = h есть гиперболы.
Изобразим теперь двуполостный гиперболоид, используя проведенное выше исследование его формы.
5. Виды двуполостных гиперболоидов
а) Если в уравнении (1), например a = b, то получаем двуполостный гиперболоид вращения с уравнением:
(4)
в котором ось вращения – ось Oz
Эта поверхность получена вращением гиперболы с уравнением вокруг оси Oz, то есть вокруг ее действительной оси.
б) Двуполостный гиперболоид с центром и полуосями a, b, с, параллельными осям координат, имеем уравнение:
(5)
Замечание. В каноническом уравнении однополостного гиперболоида имеется один знак «-», а в каноническом уравнении двуполостного гиперболоида – два знака «-».
В обоих уравнениях члены, соответствующие действительным осям, имеют знак «+», а члены, соответствующие мнимым осям, имеют знак «-».
Пример. Изобразить поверхность второго порядка .
Решение.
.
- двуполостный гиперболоид вращения, центр , полуоси a = b = с = 1.
(Формула параллельного переноса в пространстве имеет вид.
, где