2.4. Округление чисел

Часто бывает надобность в округлении этого числа, т.е. в замене его числом а₁ с меньшим количеством значащих цифр. Число а₁ выбирают так, чтобы погрешность округления а₁ - абыла минимальной.

Правило округления (по дополнению). Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасывают все цифры его, стоящие справа от п-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

1. если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;

2. если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;

3. если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу;

4. если же первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры).

При применении правила округления погрешность округления не превосходит ½ единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

2.5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа

Теорема. Если положительное приближенное число а имеет п верных десятичных знаков в узком смысле, то относительная погрешность  этого числа не превосходит , деленную на первую значащую цифру данного числа, т.е.

,

где _т – первая значащая цифра числа а.

Следствие 1. За предельную относительную погрешность числа а можно принять

, (2.9)

где _т – первая значащая цифра числа а.

Следствие 2. Если число а имеет больше двух верных знаков, т.е. п 2, то практически справедлива формула

.

Приведенная теорема дает возможность по числу верных знаков приближенного числа

(2.11)

определить его относительную погрешность .

Для решения обратной задачи – определения количества п верных знаков числа (2.11), если известна его относительная погрешность , обычно пользуется приближенной формулой:

 = /а (а>0),

где  - абсолютная погрешность числа а.

Отсюда

=а. (2.12)

Учитывая старший десятичный разряд числа , легко установить количество верных знаков данного приближенного числа а. В частности, если

то из формул (2.11) и (2.12) имеем:

т. е. число а заведомо имеет п верных десятичных знаков в широком смысле. Аналогично, если , то число а имеет п верных десятичных знаков в узком смысле.

2.6. Погрешность суммы

Теорема 1.Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел

Пусть х₁, х₂, …, х_п - данные приближенные числа. Рассмотрим их алгебраическую сумму

и= х₁х₂…х_{п .}

Очевидно, что

 = х₁х₂…х_п

и, следовательно,

2. Если слагаемые – одного и того же знака, то предельная относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.