Тема 2. Элементарная теория погрешностей

2.1. Абсолютная и относительная погрешности

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что а  А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку; если же а  А, то – по избытку.

Если а есть приближенное значение числа А, то пишут а  А.

.

Под ошибкой или погрешностью а приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т.е.

.

Если А  а, то ошибка положительная: а  0; если же А  а, то ошибка отрицательна: а  0. Чтобы получить точное число А, нужно к приближенному числу а прибавить его ошибку а,

Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа

.

Определение 1. Абсолютной погрешностью  приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и приближенным а, т.е.

.

Вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности  вводится ее оценка сверху, так называемая предельная абсолютная погрешность.

Определение 2. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

. (2.2)

Отсюда следует, что точное число А заключено в границах

.

.

Определение 3. Относительной погрешностью  приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности  этого числа к модулю соответствующего точного числа А(А  0), т.е.

. (2.4)

Отсюда  = А .

Определение 4. Предельной относительной погрешностью данного приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. По определению имеем:

, (2.5)

т.е. , отсюда .

.

.

Отсюда, зная предельную относительную погрешность , получают границы для точного числа

.

Если, как обычно бывает,  а и _а 1 (знак  обозначает «значительно меньше»), то приближенно можно принять;

2.2. Основные источники погрешностей

Погрешности, встречающиеся в математических задачах, могут быть в основном разбиты на пять групп.

1. Погрешности, связанные с самой постановкой математической задачи.

2. Погрешности, связанные с наличием бесконечных процессов в математическом анализе.

3. Погрешности, связанные с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно

4. Погрешности, связанные с системой счисления.

5. Погрешности, связанные с действиями над приближенными числами (погрешности действий).

2.3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков

Всякое положительное число а может быть представлено в виде конечной и бесконечной десятичной дроби

=_m10^m+_m-110^m-1+_m-210^m-2+…+_m-n+110^m-n+1+… , (2.7)

где _I – цифры числа а (_I=0, 1, 2,…,9), причем старшая цифра _m0, а m – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа а).

На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби

b=_m10^m+_m-110^m-1+…+_m—n+110^m-n+1 (_m0). (2.8)

Все сохраняемые десятичные знаки _I (I = m, m-1,…,m-n+1) называются значащими цифрами приближенного числа b, причем возможно, что некоторые из них равны нулю (за исключением _m).

Определение 1. Значащей цифрой приближенного числа называются всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам.

Определение 2. говорят, что п первых значащих цифр (десятичных знаков) приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого п-й значащей цифрой, считая слева направо.

Замечание. В некоторых случаях удобно говорить, что число а является приближением точного числа А с п верными знаками в широком смысле, понимая под этим, что абсолютная погрешность  = А – а  не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого п-й значащей цифрой приближенного числа Например, для точного числа А=412,3567 число а=412,356 является приближением с шестью верными знаками в широком смысле, т.к.  = 0,0007110^-3.

В дальнейшем верные знаки приближенного числа мы будем понимать в смысле определения 2 (т.е. в узком смысле), если явно не оговорено противное.