1.4. Погрешности измерений

В процессе измерения получают неко­торую оценку значения физической величины в принятых единицах, а истинное значение физической величины всегда остается неиз­вестным, из-за чего нельзя определить истинное значение погреш­ности измерения. Для приближенной оценки погрешности используют понятие действительного значения физической величины, которое находят более точными методами и средствами. Получаемую оценку погрешности, представляющую собой разность ∆ между полученным при измерении и действительным значениями физической величины (здесь и далее имеется в виду абсолютная погрешность), в зависимости от причин возникновения, характера и условий проявления принято выражать суммой двух составляющих, называемых случайной Ψ и систематической Θ погрешностями измерении:

∆= Θ+Ψ (1.8)

Классификация погрешностей измерений приведена на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Классификация погрешностей измерений

Случайна погрешность измерения - составляющая погрешно­сти измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных изменениях одной и той же величины.

Случайная погрешность определяется факторами, проявляющимися нерегулярно с изменяющейся интенсивностью. Значение и знак случайной погрешности определить невозможно, так как в каждом опыте причины, вызывающие погрешность, действуют не­одинаково. Случайная погрешность не может быть исключена из результата измерений. Однако проведением ряда повторных изме­рений и использованием для их обработки методов математической статистики определяют значение измеряемой величины со случай­ной погрешностью, меньшей, чем для одного измерения.

При организации статистических измерений, для которых и определяется случайная погрешность, создаются усло­вия, характеризующиеся тем, что интенсивность всех действующих факторов доводится до некоторого уровня, обеспечивающего более или менее равное влияние на формирование погрешности. В этом случае говорят об ожидаемой погрешности (рис. 1.7).

Кроме этой погрешности могут иметь место грубые погрешности и промахи.

Грубой погрешностью называют погрешность измерения, суще­ственно превышающую ожидаемую при данных условиях. Причи­нами грубых погрешностей могут являться неисправность средств измерений, резкое изменение условий измерений и влияющих ве­личин.

Промах - погрешность измерения, которая явно и резко иска­жает результат. Промах является случайной субъективной ошиб­кой. Его появление — следствие неправильных действий экспери­ментатора.

Грубые погрешности и промахи обычно исключаются из экспе­риментальных данных, подлежащих обработке.

Отдельные значения случайной погрешности предсказать невозможно. Совокупность же случайных погрешностей какого-то измерения одной и той же величины подчиняется определенным закономерностям, которые являются вероятностными. Они описываются в метрологии с помощью методов теории вероятностей и математической статистике. При этом физическую величину, результат измерения которой содержит случайную погрешность, и саму случайную погрешность рассматривают как случайную.

Для количественной оценки объективной возможности появления того или иного значения случайной величины служит понятие вероятности, которую выражают в долях единицы (вероятность достоверного события равна 1, невозможного - 0).

Математическое описание непрерывных случайных величин осуществляется обычно с помощью дифференциальных законов распределения случайной величины. Эти законы определяют связь между возможными значениями случайной величины (погрешности) и соответствующими им плотностями вероятностей (непрерывной считают случайную величину, имеющую бесчисленное множество значений, получить которое можно только при бесконечном числе измерений),

Наиболее распространенным при измерениях является нормальный закон распределения. Для некоторой измеряемой величины X кривая 1 распределения плотности вероятности р(Х) для закона нормального распределения имеет вид, показанный на рис. 1.8, а. При этом плотность вероятности (или плотность распределения) характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной погрешности в данной точке. Плотность вероятности для закона нормального распределения описывается уравнением

(1.9)

где М[Х] и σ - характеристики нормального распределения.

Кривую 1 (рис. 1.8, а) можно рассматривать как кривую 1 распределения случайной погрешности (рис. 1.8, б), перенеся начало координат в точку Х=М[Х]. В этом случае плотность вероятности:

(1.10)

где ψ=X - М[Х] - случайная погрешность.

Рис. 1.8. Кривые нормального распределения случайных величин и их случайных погрешностей.

Характеристики М[Х] и σ называют соответственно математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением. Они являются важными числовыми характеристиками случайной величины.

Математическое ожидание является тем значением величины, вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдении (см. рис. 1.8), а среднеквадратическое отклонение характеризуй рассеяние результатов отдельных наблюдений относительно математического ожидания» т, е. форму кривой распределения плотности вероятности, площадь под которой всегда равна единице.

На рисунке показаны кривые закона нормального распределения (кривые Гаусса) случайной величины X (рис. 1.8, а) и ее случайной погрешности ψ (рис. 1.8, б) при различных значениях среднеквадратического отклонения; рассеяние для кривой 3, больше, чем рассеяние для кривой 2, а рассеяние для кривой 2 - больше, чем кривой 1.

Геометрически σ определяется как расстояние от оси симметрии нормального распределения до точки А перегиба кривой распределения (рис. 1.8, а, б).

Чтобы определить вероятность Р попадания результата измерения или случайной погрешности в некоторый наперед заданный интервал от — ψ_д до +- ψ_д (рис. 1.8 в), необходимо найти площадь под кривой распределения, ограниченную вертикалями на границе интервала. Для нормального распределения:

(1.11)

Решить интеграл (1.11) аналитически невозможно. Обычно он приводится в виде таблиц, позволяющих определить его значение приближенно в долях единицы. Чаще решается обратная задача, состоящая в определении доверительного интервала.

Доверительным интервалом с границами (или доверительными границами от — ψ_д до + ψ_д, рис. 1.8, в) называют интервал, который с заданной вероятностью Р_д, называемой доверительной, накрывает истинное значение измеряемой величины.

Наиболее часто применяемым в практике обработки результатом измерений для нормального закона распределения является значение доверительной вероятности для значений доверительного интервала, равных 2/3 σ, 2 σ и 3 σ. Значения доверительных вероятностей для них соответственно равны 0,500; 0,950; 0,997. Физически это означает, что появление случайных погрешностей за пределами интервала ± 2/3σ равновероятно, т. е. составляет 50 % вероятности появления случайных погрешностей. При интервалах, равных ±2 σ и ±3 σ, вероятность появления случайных погрешностей, больших 2 σ и З σ, составляет соответственно 5 и 0,3 %.

Часто встречающимся в измерительной практике законом распределения случайной погрешности является равномерный закон (рис. 1.9., а), когда непрерывная случайная величина имеет возможные значения в пределах некоторого конечного интервала, при чем в пределах этого интервала все значения случайной величины обладают одной и той же плотностью вероятности.

Примером равномерного распределения погрешности может служить погрешность от трения в приборах с механическими подвижными элементами.

Графическая интерпретация закона распределения, называемого двухмодальным, показана на рис. 1.9, б. В соответствии с этим законом малые случайные погрешности встречаются реже, чем большие.

Рис. 1.9. Виды дифференциальных законов распределения случайной погрешности

Середина кривой распределения плотности вероятности' оказывается прогнутой вниз. В пределе такое двухмодальное распределение может превратиться в распределение, показанное на рис. 1.9 в, когда единственно наблюдаемыми погрешностями будут погрешности ±с. Такое распределение называют дискретным. Двухмодальное распределение обычно представляют как композицию дискретного и нормального распределений со среднеквадратическим отклонением σ_м и аналитически описывается выражением:

(1.13)

Появление двухмодального распределения обычно вызвано явлениями люфта и гистерезиса в кинематических цепях средств измерений.

Систематическая погрешность - составляющая погрешность измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.

Выявление и оценка систематических погрешностей наиболее трудным момент систематических погрешностей являются наиболее трудным моментом любого измерения и часто связаны с необходимостью проведения исследований. Обнаруженная и оцененная погрешность исключается из результата введением поправки.

В зависимости от причины возникновения раз­личают следующие систематические погрешности:

Погрешность метода (теоретическая погрешность) измерений - составляющая погрешности измерения, обусловленная несовершен­ством метода измерений. Здесь необходимо учитывать тот факт, что метод измерения, по определению, включает в себя и принцип из­мерения. Рассматриваемая погрешность определяется в основном несовершенством принципа измерения и, в частности, недостаточ­ной изученностью явления, положенного в основу измерения.

Инструментальная погрешность измерения - составляющая по­грешность измерения, зависящая от погрешности применяемых средств измерений. Данная погрешность имеет несколько состав­ляющих, наиболее важные из которых определяются несовершен­ством конструкции (или схемы), технологии изготовления средств измерений, постепенным их износом и старением материалов, из которых эти средства измерений изготовлены.

Погрешность установки является следствием неправильности установки средств измерений.

Погрешность от влияющих величин является следствием воздей­ствия на объект и средством измерений внешних факторов (тепло­вых и воздушных потоков, магнитных, электрических, гравитаци­онных и других полей, атмосферного давления, влажности возду­ха, ионизирующего излучения).

Субъективная погрешность обусловлена индивидуальными свой­ствами человека, выполняющего измерения. Причиной ее являются укоренившиеся неправильные навыки выполнения измерений. К этой систематической погрешности относятся, например, погреш­ность из-за неправильного отсчитывания десятых долей делений шкалы прибора, погрешности из-за различной для различных лю­дей скорости реакции и т. п.

По характеру проявления систематические погрешности подраз­деляют на постоянные и переменные (см. рис. 1.7).

Постоянные погрешности не изменяют своего значения при по­вторных измерениях. Причинами этих погрешностей являются: не­правильная градуировка или юстировка средств измерений, непра­вильная установка начала отсчета и т. д.

Переменные погрешности при повторных измерениях могут при­нимать различные значения. Если переменная погрешность при по­вторных измерениях возрастает или убывает, то ее называют про­грессивной. Переменная погрешность может изменяться при повтор­ных измерениях периодически или по сложному закону.

Причинами возникновения переменной систематической погреш­ности являются: действие внешних факторов и особенности конст­рукций средств измерений.

Погрешности, приведенные на рис. 1.7, могут иметь место, как при статических, так и при динамических измерениях. Погрешности, возникающие при этих измерениях, принято назы­вать соответственно статическими или динамическими.