2.2Анализ фильтра в режиме несинусоидального тока.

Разложим испытательный сигнал в тригонометрический ряд Фурье воспользовавшись [garm_analysis_f.m]

График исходной функции

Отклик на заданное воздеиствие

Синим цветом показан исходный сигнал. Зеленым -ряд Фурье

Единичное ступенчатое воздействие:

Напряжение выхода, при единичном ступенчатом воздействии

2. Воздействие испытательным сигналом

Напряжение выхода, при подаче на вход испытательного сигнала

3. Синусоидальное воздействие

Напряжение выхода, при синусоидальном воздействии

Напряжение выхода при частоте выхода в 2 раза больше частоты среза.

Напряжение выхода при частоте выхода в 2 раза меньше частоты среза

4. Расчет переходной характеристики и интеграла от нее с учетом сопротивления нагрузки.

4.1. Теоретическая часть.

Кроме частотных характеристик эл.цепи могут быть описаны и исследованы с помощью так называемых временных характеристик. К временным характеристикам относятся, прежде всего переходная ф-ия, переходная характеристика и импульсная переходная ф-ия, импульсная переходная характеристика. Временные характеристики отражают динамические свойства цепи, поэтому цепь должна содержать хотя бы один динамический элемент. Тогда поведение цепи может быть полностью описано с математической точки зрения обыкновенными дифф.уравнениями,чаще всего с постоянными коэффициентами. Такое описание называется описанием типа “вход-выход”:

,где y(t)-входная ф-ия , x(t)-выходная ф-ия.

ai , bj-постоянные коэфф-ты.

С этим дифф.ур-ем можно связать различные постановки задачи, в зависимости от того, что считать заданным : это может быть задача анализа, задача оптимизации, задача идентификации, задача синтеза и др.

Самой простой и частовстречающийся явл. задача анализа. Задача анализа состоит в вычислении выходного сигнала x(t) по заданному входному сигналу y(t) и известным коэфф-м ai , bj –такая задача в математике называется задачей Коши.

1)Типовой сигнал типа – единичная ф-ия:

Определение: Реакция динамической эл.цепи на ступенчатое единичное воздействие(единичную ф-ию) при нулевых начальных условиях называется переходной функцией цепи –h(t), а ее график называется переходной характеристикой цепи.(нулевые начальные условия означают, что система(цепь)находилась в невозбужденном состоянии.

Знание h(t) полезно, по крайней мере, с двух точек зрения:

Во 1-х : в переходной характеристике h(t) отражены основные св-ва цепи:, быстродействие, колебательность, время переходного процесса и др.

Во 2-х : знание h(t) позволяет сравнительно просто на основе известных формул(интеграл Дюамеля)вычислить реакцию цепи на любое сложное воздействие.

2)Другим важным типовым сигналом явл. импульсный единичный сигнал

-импульсный сигнал бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности, но площадь этого сигнала должна быть равна единице.

Если сравнить то видно, что

В строгом смысле промоделировать нельзя, но на практике вместо нее задают(когда это возможно)очень короткий сигнал по длительности и достаточно большой амплитуды.

Определение: реакция предварительно невозбужденной цепи на называется импульсной переходной функцией цепи -g(t), а ее график-импульсной переходной характеристикой цепи.

Нетрудно показать, что

3)Методы определения временных характеристик.

Т.к. временные характеристики связаны с решением дифф.ур-ий,то способы решений дифф.ур-ий и будут определять методы нахождения.

При самой общей классификации способы решения дифф.ур-ий можно разделить на 3 группы:

1)численные методы

2)аналитические методы

3) численно-аналитические методы

Рассмотрим операционный метод, относящийся к аналитическим методам.

Данный метод позволяет получить точное решение в форме аналитических формул. Основу операционного метода составляют прямое и обратное преобразование Фурье.

Рассмотрим некоторую ф-ию x(t),удовлетворяющую следующим 3-м свойствам:

1)ф-ия задана на промежутке на другой полосе x(t)=0.

2)на этом участке ф-ия x(t) явл. либо непрерывной либо может иметь конечное число разрывов 1-го рода.

3)Порядок роста ф-ии x(t) не должен превышать роста некоторой экспоненциальной ф-ии с произвольными параметрами:

Опр: Ф-ия x(t) удовлетворяющая выше записанным условиям называется оригиналом

Как было сказано уже ранее - основу операционного метода составляют прямое и обратное преобразование Фурье.

Опр: Прямым преобразованием Лапласа от ф-ии оригинал называется изображение по Лапласу от исходной ф-ии-оригинала

-прямое преобразование Фурье от ф-ии f(t)

Опр: интегральное преобразование вида:

называется обратным преобразованием Фурье

4)Свойства преобразований Лапласа:

1)Теорема линейности : изображение по Лапласу от линейной комбинации. ф-ий-оригиналов явл.линейной комбинацией изображений составляющих . ф-ий. Т.е. если имеем

,где x(t)- исходная ф-ия-оригинал,то имеем:

2)Теорема подобия: если некоторая ф-ия f(t) и A-некоторое положительное число, то

3)Теорема о дифференцировании оригинала : операция дифф-я ф-ии- оригинала в действительной области соответствует в комплексной области операции умножения изображения ф-ии F(s) на комплексный параметр S за вычетом начальных условий этой ф-ии:

]

4)Теорема об интегрировании оригинала во временной области : операция интегрирования ф-ии-оригинала во временной области соответствует операции деления изображения ф-ии на комплексную переменную S:

5)1-я теорема разложения : ( предпологается ,что изображение искомой

ф-ии-оригинала может быть представлено в форме ряда Лорана: ),то оригинал f(t) можно найти по следующей формуле:

6)Вторая теорема разложения : Если изображение ф-ии представлено в виде

, где A(S) и B(S)-некоторые полиномы, и сама дробь правильная.

График переходной характеристики.

График импульсной переходной характеристики