- •§ 2. Многочлены
- •1О. Эвристические соображения.
- •2O. Точные определения.
- •Для многочлена вида и выполняется .
- •30. Деление многочленов.
- •4O. Делители многочленов. Наибольший общий делитель.
- •Определение 5. Многочлены называют взаимно простыми, если их общими делителями являются только многочлены нулевой степени.
- •Определение 6. Число называется корнем , если . Теорема 6 (теорема Безу). Пусть . Тогда .
§ 2. Многочлены
1О. Эвристические соображения.
В школьном курсе многочленом (полиномом) от одной переменной с коэффициентами из R называется выражение вида
Здесь под понимается некоторый символ, который может принимать любые значения из R.
В дальнейшем будем рассматривать многочлены как формальные выражения. Более того, для удобства формальной записи алгебраических операций многочлены желательно рассматривать как сумму бесконечного числа слагаемых вида с конечным числом отличных от нуля слагаемых: Тогда формулы для суммы и произведения многочленов примут вид:
;
,
где .
2O. Точные определения.
Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из множества комплексных чисел С называется бесконечная последовательность , в которой лишь конечное число элементов не равно нулю.
Множество многочленов с коэффициентами из С обозначается . Аналогично вводится множество многочленов с коэффициентами из . Далее утверждения формулируются для многочленов из , и, если не оговорено специально, они справедливы для многочленов из .
Введем операции сложения и умножения многочленов. Пусть . Тогда
, , где .
Очевидно, что и имеют лишь конечное число ненулевых элементов, то есть являются многочленами. При этом, если имеет , а ненулевых элементов, то – не более чем , а – не более чем ненулевых элементов.
Теорема 1. Операции сложения и умножения многочленов удовлетворяют следующим свойствам:
ассоциативность сложения и умножения многочленов, т.е. выполняются равенства ;
коммутативность сложения и умножения многочленов, т.е. выполняются равенства ;
дистрибутивность умножения относительно сложения, т.е. выполняется ;
для многочлена вида и выполняется ;
Для многочлена вида и выполняется .
Доказательство. Проверим ассоциативность умножения. Пусть
.
Необходимо доказать, что . Имеем:
, где .
Тогда
,
где
,
и
, где ,
то есть ассоциативность умножения выполняется в силу ассоциативности умножения в .
Проверим дистрибутивность, то есть выполнение равенства
.
Имеем где ;
где .
Проверим коммутативность умножения. Имеем
, где и
, где
в силу коммутативности умножения в С.
Аналогично проверяются остальные свойства. ■
Рассмотрим . Очевидно, что
.
Следовательно, множество С' можно отождествить с С (то есть построить взаимно однозначное соответствие между этими множествами, так что ставится в соответствие .)
Обозначим (так как ).
Утверждение 1. Пусть . Тогда .
Доказательство. Так как , то легко видеть, что . Тогда
, и, значит
■
Терминология. Пусть . Тогда называется свободным членом многочлена. Если , то называется степенью многочлена. Пишут (degree), – старший коэффициент , , – переменная.
Следствие. выполняется .
При этом , .
Доказательство. Пусть и . Тогда и .
Если или .■
Замечание. определено только для многочленов нулевой степени близко по свойствам к множеству целых чисел алгоритм деления с остатком.