§ 2. Многочлены

1О. Эвристические соображения.

В школьном курсе многочленом (полиномом) от одной переменной с коэффициентами изR называется выражение вида

Здесь под понимается некоторый символ, который может принимать любые значения изR.

В дальнейшем будем рассматривать многочлены как формальные выражения. Более того, для удобства формальной записи алгебраических операций многочлены желательно рассматривать как сумму бесконечного числа слагаемых вида с конечным числом отличных от нуля слагаемых:Тогда формулы для суммы и произведения многочленов примут вид:

;

,

где .

2O. Точные определения.

Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из множества комплексных чисел С называется бесконечная последовательность , в которой лишь конечное число элементов не равно нулю.

Множество многочленов с коэффициентами из С обозначается . Аналогично вводится множество многочленов с коэффициентами из. Далее утверждения формулируются для многочленов из, и, если не оговорено специально, они справедливы для многочленов из.

Введем операции сложения и умножения многочленов. Пусть . Тогда

, , где .

Очевидно, что иимеют лишь конечное число ненулевых элементов, то есть являются многочленами. При этом, еслиимеет, аненулевых элементов, то– не более чем, а– не более чемненулевых элементов.

Теорема 1. Операции сложения и умножения многочленов удовлетворяют следующим свойствам:

1. ассоциативность сложения и умножения многочленов, т.е. выполняются равенства;

2. коммутативность сложения и умножения многочленов, т.е. выполняются равенства;

3. дистрибутивность умножения относительно сложения, т.е. выполняется;

4. для многочлена вида ивыполняется;

5. для многочлена вида ивыполняется.

Доказательство. Проверим ассоциативность умножения. Пусть

.

Необходимо доказать, что . Имеем:

, где .

Тогда

,

где

,

и

, где ,

то есть ассоциативность умножения выполняется в силу ассоциативности умножения в .

Проверим дистрибутивность, то есть выполнение равенства

.

Имеемгде;

где .

Проверим коммутативность умножения. Имеем

, где и

, где

в силу коммутативности умножения в С.

Аналогично проверяются остальные свойства. ■

Рассмотрим . Очевидно, что

.

Следовательно, множество С' можно отождествить с С (то есть построить взаимно однозначное соответствие между этими множествами, так что ставится в соответствие.)

Обозначим (так как).

Утверждение 1. Пусть . Тогда.

Доказательство. Так как , то легко видеть, что. Тогда

, и, значит

■

Терминология. Пусть . Тогда называется свободным членом многочлена. Если , то называется степенью многочлена. Пишут (degree), – старший коэффициент , , – переменная.

Следствие. выполняется.

При этом , .

Доказательство. Пусть и . Тогда и.

Еслиили.■

Замечание. определено только для многочленов нулевой степениблизко по свойствам к множеству целых чиселалгоритм деления с остатком.

30. Деление многочленов.

Теорема 2. Пусть . Тогда

и .

(1)

Доказательство. Пусть . Если, то можно положить. Если, то будем использовать тот же метод деления, что и для чисел. Пусть

и .

Положим . Тогда. Пусть и . Если , то остановим процесс вычисления; если, то положим. Пусть,– старший коэффициент, и так далее… Так как степени многочленовубывают, то получим:и. Процесс останавливается. Суммируя полученные ранее выражения, получаем:

.

Тогда , , то есть получено требуемое представление (1).

Докажем единственность. Пустьи. Тогда. Если, то(по лемме 1),a противоречие.■

Определение 2. Если и, тоназываетсяостатком при делении на.

Пример. . Здесь.

Замечание. Из указанного в теореме 2 алгоритма деления с остатком следует, что если и– многочлены с действительными коэффициентами, то коэффициенты всех многочленова значит и коэффициентыи– действительные. Для целых коэффициентов это утверждение неверно.