2. 2. Rozkład zmiennej losowej ciągłej

Rozkład zmiennej losowej ciągłej opisany jest za pomocą dystrybuanty lub alternatywnie funkcji gęstości. Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych  wzorem

(2)

gdzie F’(x) oznacza pochodną funkcji F(x).

Najważniejsze własności funkcji gęstości, to:

(3)

3. Podstawowe parametry rozkładu zmiennej losowej

Wartość oczekiwana E(X) jest liczbą charakteryzującą położenie zbioru jej wartości:

(4)

Wariancja D²(x) zmiennej losowej – charakteryzuje rozrzut wokół wartości oczekiwanej E(x):

(5)

Odchylenie standardowe:

(6)

Kwantyl rzędu p zmiennej losowej X jest to największa taka liczba x_p, że

(7)

Zadania do rozwiązania

Zadanie 1.

Zmienna losowa X może przyjmować 4 różne wartości z prawdopodobieństwami:

	0	1	2	3
	0,2	?	0,1	0,3

Należy obliczyć:

1. ;

2. wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe .

Zadanie 2. Zmienna losowa przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, przy czym , . Wiadomo, że . Należy wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X.

Zadanie 3.

Zmienna losowa X ma dystrybuantę postaci:

x		[-1;1)	[1;4)	[4;6)	[6;15)
F(x)	0	0,10	0,25	0,55	0,80	1

Należy wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i obliczyć prawdopodobieństwo .

Zadanie 4.

Zmienna losowa przyjmuje wartości 2, 3, 4, 5, przy czym , . Wiadomo, że . Należy wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X.

Zadanie 5.

Zmienna losowa X może przyjmować 4 różne wartości z prawdopodobieństwami:

	2	3	4	5
	0,1	0,3	0,2	P(X=5)

3. Znaleźć ;

4. obliczyć oraz .

26