Zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo

W pierwszej kolejności poświęcimy nieco uwagi rachunkowi prawdopodobieństwa, który odgrywa podstawową rolę nie tylko w metodzie reprezentacyjnej, ale także w wielu dziedzinach nauki i praktyki.

Ogólnie można powiedzieć, że rachunek prawdopodobieństwa jest działem matematyki, zajmującym się badaniem i wykrywaniem prawidłowości zdarzeń losowych.

Zdarzenie losowe jest więc pierwszym pojęciem, z którym będziemy musieli się zaznajomić, gdyż niezbędne jest w dalszych rozważaniach.

Jeśli o jakimś zdarzeniu nie możemy powiedzieć, czy w wyniku przeprowadzonego doświad­czenia zrealizuje się ono czy nie, to takie zdarzenie będziemy nazywać zdarzeniem losowym.

Zdarzeniem losowym będzie więc wyrzucenie orła przy rzucie monety, wyrzucenie parzystej liczby oczek przy rzucie kostką do gry, urodzenie się dziecka określonej płci, wysokość dochodów pieniężnych uzyskanych przez rodzinę w danym miesiącu, wysokość wydatków na konkretny artykuł w ciągu określonego okresu czasu itd.

Wszystkie te zdarzenia mają jedną cechę wspólną przed ich realizacją - nieznajo­mość wyniku realizacji. Rachunek prawdopodo­bieństwa buduje pewne sztuczne modele procesów masowych, które następnie bada i stwierdza określone prawidłowości w ich kształtowaniu.

Trzeba stwierdzić, że modele te odegrały ogromną rolę w rozwiązywaniu konkretnych zagadnień teoretycznych i praktycznych. Niektóre z tych modeli poznamy w dalszych naszych rozważaniach, gdyż umożliwią nam one poznanie istoty metody reprezentacyjnej i wnioskowania statystycznego

Następnym pojęciem, które musimy poznać, to pojęcie prawdopodobieństwa. Pojęcie to bardzo często używane jest w metodzie reprezentacyjnej, zarówno przy ustaleniu minimalnej liczebności próbki, ocenie precyzji wyników jak i przy weryfikowa­niu hipotez statystycznych. Wykorzystywane jest także szeroko we wnioskowaniu statystycznym i różnych dziedzinach nauki i techniki.

Podamy tu jeden z przykładów. Stwierdza się na przykład, że z prawdopodobieństwem równym 0,95 błąd oceny będzie mniejszy niż 5%. Istnieje potrzeba użycia prawdopodobieństwa w takim wnioskowaniu, ponieważ opiera się ono na próbce obejmującej niekompletną informację o zbiorowości generalnej, a więc nie może być ono przeprowadzone z całą pewnością.

Wielkość prawdopodobień­stwa związanego z tym wnioskowaniem informuje o poziomie ufności, jaki należy pokładać w prawdziwości wnioskowania. Z pojęciem prawdopodobieństwa spotykamy się nie tylko w metodzie reprezenta­cyjnej, ale także w innych metodach statystycznych, dlatego wydaje się celowe poświęcenie mu tu nieco uwagi.

Przed podaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa rozważmy następujące doświadczenie. W urnie znajduje się 100 kul, z których 50 jest koloru białego, a 50 koloru czarnego. Przyjmijmy, że kule różnią się tylko barwą, a poza tym są całkowicie jednakowe. Wybierając na ślepo jedną kulę możemy przyjąć, że każda kula ma jednakowe szansę wyciągnięcia. Losując kulę z urny możemy wylosować kulę białą lub czarną. Jeśli za zdarzenie losowe przyjmiemy wyciągnięcie z urny kuli białej, wtedy w pojedynczym ciągnieniu możliwe są dwa wyniki - wystąpienie lub nie wystąpienie zdarzenia. W jednym ciągnieniu może się więc pojawić kula biała lub czarna. Tego rodzaju zmienność zjawiska przyjęto nazywać zmiennością alternatywną. W jednym ciągnieniu pojawienie się kuli białej wyklucza pojawienie się kuli czarnej.

Zdarzenie wykluczające wystąpienie drugiego zdarzenia nazywamy zdarzeniami wykluczającymi się. Fakt zaś że przy wyciąganiu kuli z urny jednakowo możliwe jest pojawienie się każdej kuli znajdującej się w urnie nazywa się równą możliwością zdarzenia. Inaczej mówiąc zdarzenie nazywamy jednakowo możliwymi, jeśli nie ma przyczyn powodujących jedno z tych zdarzeń możliwym w większym stopniu niż drugie.

W wyniku wielokrotnego losowania kul z urny powstaje zbioro­wość pojedynczych doświadczeń, która posiada właściwości zbiorowo­ści statystycznej, a mianowicie w pojedynczym losowaniu kuli może być różny wynik - kula biała lub czarna, lecz w zbiorowości takich losowań przejawia się określona prawidłowość we wzajemnym stosunku pomiędzy ilościami wyjętych kul białych i czarnych.

Wynik każdego pojedynczego ciągnienia (losowania) kuli zależy od dwóch grup czynników: podstawowych, związanych z właściwościami zjawiska, i przypadkowych (losowych), nie związanych z tymi właściwościami.

Dogodność modelu z zastosowaniem urny polega po pierwsze na tym, że łatwo jest w nim wyodrębnić podstawowe przyczyny i właściwości zjawiska od przyczyn ubocznych. Na podstawie tego modelu nie trudno jest też prześledzić, w jaki sposób działa każda grupa przyczyn i co jest rezultatem działania każdej z nich.

Z rozpatrywanego przez nas punktu widzenia główną właściwością urny z kulami jest stosunek między liczbą kul białych i czarnych. Ponieważ w urnie znajduje się 50 kul białych i 50 czarnych, to przy wyjmowaniu jednej kuli szansę na pojawienie się kuli białej lub czarnej są absolutnie jednakowe.