- •Wyższa Szkoła Menedżerska
- •Charakterystyki opisowe
- •Wielkości średnie
- •1. Średnia arytmetyczna
- •2. Średnia geometryczna
- •3. Średnia harmoniczna
- •4. Wartość modalna (moda, dominanta)
- •Mediana I kwartyle
- •Kwartyle
- •Kwantyle
- •Miary zróżnicowania cechy (dyspersji, rozproszenia)
- •1. Rozstęp I odchylenie ćwiartkowe
- •2. Wariancja I odchylenie standardowe
- •3. Współczynnik zmienności potrzeba badania zmienności
- •Rozstęp I odchylenie ćwiartkowe
- •2. Wariancja I odchylenie standardowe
- •3. Współczynnik zmienności
- •Asymetria I koncentracja
- •6.1. Asymetria I jej miary
- •6.2. Koncentracja I jej mierzenie
- •6.1. Asymetria I jej miary
- •4Inne współczynniki asymetrii
- •Koncentracja I jej mierzenie
- •Porównania
- •1. Problemy porównań statystycznych
- •Standaryzacja
Wyższa Szkoła Menedżerska
WSM-wyk_3_.doc Podstawy analiz statystycznych - charakterystyki opisowe Prof. J. Kordos
Charakterystyki opisowe
Na poprzednim wykładzie rozważaliśmy ogólnie rozkład populacji według wielkości badanej cechy X. Rozróżniliśmy cechy zmienne mierzalne (skokowe i ciągłe) oraz niemierzalne. Tutaj chodzi nam o bardziej syntetyczne scharakteryzowanie populacji, polegające na obliczeniu pewnych charakterystyk opisowych. Rozważymy miary położenia, zróżnicowania, asymetrii, kurtozy oraz koncentracji.
Będziemy rozważali indywidualne dane statystyczne oraz dane już pogrupowane.
Rozpoczniemy od miar położenia.
Podstawową grupę parametrów stanowią tzw. wielkości średnie.
Wielkości średnie
Wielkości średnie są więc pewnymi charakterystykami liczbowymi, które służą do pomiaru ogólnego poziomu cechy w badanej populacji.
Rozważymy tu ogólnie następujące wielkości średnie:
1. Średnia arytmetyczna
2. Średnia geometryczna
3. Średnia harmoniczna
4. Moda
5. Mediana i kwartyle
Omówimy tylko te charakterystyki, które mają szersze zastosowania w praktyce, tj. średnią arytmetyczną, modę, medianę i kwartyle.
1. Średnia arytmetyczna
Najbardziej popularną i będącą w powszechnym użyciu wielkością średnią jest średnia arytmetyczna.
Średnia arytmetyczna jest sumą wartości cechy (zmiennej) poszczególnych jednostek populacji, podzieloną przez ich ilość.
Jeśli w badanej próbie o liczebności n zmienna X przyjmuje wartości x1, x2, ..., xn, to ich średnią arytmetyczną można obliczyć z następującego wzoru:
(1)
średnia ta nosi nazwę średniej arytmetycznej nieważonej.
Gdy natomiast poszczególne wartości cechy występują wielokrotnie u poszczególnych elementów populacji, wtedy wzór (1) możemy zmodyfikować. Jeśli zatem cecha X występuje w z wariantach: x1, x2, ..., xz, a liczba elementów przyjmujących kolejne wartości cechy jest odpowiednio n1, n2, ..., nz, gdzie .
Wtedy średnią arytmetyczną można obliczyć z następującego wzoru:
(2)
Oznaczmy dalej , gdzie w1, w2, ..., wz, są wagami grupowymi, to wtedy
Średnią arytmetyczną ważoną można wyrazić za pomocą następującego wzoru:
(3)
Powstaje pytanie jak obliczyć średnią arytmetyczną gdy operujemy szeregiem rozdzielczym, w którym elementy populacji pogrupowane są w przedziały.
Takie dane często publikowane są w różnych publikacjach.
Rozważmy następujący przykład:
Miesięczne płace pracowników przedsiębiorstwa zostały pogrupowane według 10-ciu grup płacowych (z = 10) oraz dla każdej grupy płacowej obliczono odpowiadającą jej płacę xi oraz wagę wi.
W tym przypadku średnia arytmetyczna może być obliczona tylko z pewnym przybliżeniem, gdyż nie posiadamy pełnych informacji dla dokładnego ich wyliczenia. Przyjmujemy w takich sytuacjach, że wszystkie jednostki z określonego przedziału przyjmują jedną i tą samą wartość odpowiadającą środkowi danego przedziału.
Wartości te oznaczamy przez xi, a odpowiadające im wagi przez wi.
-
Nr grupy
i
Grupy
płacowe
Płaca w grupie i
xi
Liczba
pracowników
ni
Wag
wi
1
400 -600
500
67
0,042
2
601-800
700
109
0,067
3
801-1000
900
166
0,103
4
1001-1200
1100
180
0,112
5
1201-1400
1300
253
0,157
6
1401-1600
1500
291
0,181
7
1601-1800
1700
184
0,114
8
1801-2000
1900
157
0,098
9
20001-2200
2100
120
0,075
10
2201 -2400
2300
82
0,051
Ogółem
x
x
1609
1,000
Wtedy średnia ważona płac w przedsiębiorstwie wynosi zł.