Вариант 8
Найти область определения функции .
Построить линии уровня функции .
Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .
Вычислить полный дифференциал функции в точке .
Исследовать на экстремум функцию .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = -1 , х = 1, у = 0, у = 4.
Найти градиент функции в точке .
Найти наибольшую скорость возрастания функции при переходе через точку .
Провести касательную прямую к плоской линии, заданной уравнением в точке .
Экспериментально получены пять значений искомой функции у=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию у=f(x) в виде у=ах+b.
-
х
1
2
3
4
5
у
5,5
6,5
5,0
3,0
3,5
Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями .
Из круглого бревна , диаметр которого d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения , чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?
Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины х ее поперечного сечения на квадрат его высоты у Q=kxy2, k=const.
Вариант 9
Найти область определения функции .
Построить линии уровня функции .
Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .
Вычислить полный дифференциал функции в точке .
Исследовать на экстремум функцию .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = -1 , х = 1, у = 0, у = 5.
Найти градиент функции в точке .
Найти наибольшую скорость возрастания функции при переходе через точку .
Провести нормальную плоскость к кривой , в точке .
Экспериментально получены пять значений искомой функции у=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию у=f(x) в виде у=ах+b.
-
х
1
2
3
4
5
у
5,7
6,7
5,2
3,2
3,7
Вычислить двойной интеграл , где D– область, ограниченная линиями .
Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V, цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?
Вариант 10
Найти область определения функции .
Построить линии уровня функции .
Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .
Вычислить полный дифференциал функции в точке .
Исследовать на экстремум функцию .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0 , х = 6, у = -1, у = 1.
Найти градиент функции в точке .
Найти производную функции в направлении ее градиента в точке .
Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду в точке .
Экспериментально получены пять значений искомой функции у=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию у=f(x) в виде у=ах+b.
-
х
1
2
3
4
5
у
5,9
6,9
5,4
3,4
3,9
Вычислить двойной интеграл , где – область, ограниченная линиями .
При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?