1.3 Лидарное уравнение.

Большую часть задач атмосферного зондирования, включая те, в которых присутствует дифференциальное погло­щение лазерного излучения, можно описать с помощью лидарного уравнения.

В случае импульсной системы, работающей в моностатиче­ском режиме, возрастание мощности сигнала ΔP(λ, R), воспри­нимаемого детектором в волновом диапазоне (λ, λ+Δλ) от эле­мента, расположенного в интервале (R, R+ΔR), определяется как

(1)

Здесь J(λ, R, r) – индуцированная лазером спектральная плот­ность энергетической яркости на длине волны λ элемента пло­щади объекта, положение которого определяется радиусом - век­тором r в слое единичной толщины, расположенном на расстоя­нии R от лидара; dA (R, г) — элемент площади объекта в поло­жении r на расстоянии R от лидара; ρ (λ,R,r)— вероятность попадания излучения с длиной волны λ, исходящего с элемента площади dA(R, r), на детектор.

На эту вероятность влияют многие факторы, включая гео­метрические особенности задачи, ослабляющее влияние атмо­сферы, оптику приемного устройства, характеристики спектраль­ного пропускания. Большинство этих воздействий можно раз­делить и записать уравнение

(2)

где A₀/R² - телесный угол, в котором осуществляется прием сигналов оптической системой (Ао — площадь линзы или зер­кала объектива); T(λ,R) — коэффициент пропускания атмо­сферы для длины волны λ на пути R; ξ(λ)— коэффициент спек­трального пропускания приемной оптической системы, который учитывает влияние селективных по спектру пропускания ком­понентов системы, например монохроматора; ξ (R, r) — основан­ная на геометрическом рассмотрении вероятность того, что из­лучение элемента площади поверхности объекта, положение которого определяется радиусом-вектором г и расстоянием до объекта R, достигнет детектора излучения.

Допустим, что ξ (R,r) зависит только от перекрывания об­ласти, освещаемой лазерным лучом на поверхности объекта, полем зрения фотоприемника. Тогда будем считать ξ (R,r) ко­эффициентом перекрытия.

На спектральную плотность энергетической яркости объекта J(λ,R,r) в значительной степени влияет характер взаимодей­ствия лазерного излучения и среды объекта. В данном разделе будут рассмотрены упругое и неупругое рассеяние. В этом слу­чае можно записать следующее уравнение:

(3)

Здесь I(R,r) — поверхностная плотность потока излучения на расстоянии R в области r, а

(4)

является объемным коэффициентом обратного рассеяния, где Ni(R, г)— концентрация центров рассеяния типа i, {dσ(λ_L)/dΩ}_i^s — дифференциальное сечение рассеяния при экспонирова­нии лазерным излучением с длиной волны λ_L, L_i(λ)Δ λ — часть рассеянного излучения, попадающая в интервал длин волн (λ, λ+Δλ).

Общую мощность сигнала, воспринимаемую детектором в момент t(=2R/c), соответствующий времени, необходимому для того, чтобы лазерный импульс прошел со скоростью света с путь R и обратное излучение достигло лидара, можно опреде­лить как

(5)

Интегрирование необходимо в связи с тем, что излучение, достигающее детектора в момент t, исходит не только с расстоя­ния ct/2, но и из любой точки вдоль траектории лазерного им­пульса, где возникает рассеяние. Пределы интегрирования по длине волны совпадают со спектральным интервалом Δλ₀ , цент­ром которого является λ , фотоприемного устройства лидара. С учетом уравнений (2) и (3), можно записать следующее выражение:

(6)

Для рассеивающей среды ширина спектрального интервала наблюдаемого излучения такая же узкая, как и лазерного излучения. Если предположить, что ширина спектральных интер­валов этих обоих излучений много меньше ширины спектраль­ного интервала Δλ₀ фотоприемного устройства, то L_i(λ) и β можно рассматривать как дельта-функцию. Если также предпо­ложить, что в области перекрывания поля зрения фотоприем­ника и площади, освещаемой лазерным лучом, исследуемая среда будет однородной, то можно записать следующее урав­нение:

(7)

Выше указывалось, что здесь вероятность ξ(R,r) следует считать равной единице в области, где поле зрения фотоприем­ного устройства совпадает с площадью, освещаемой лазерным лучом, и равной нулю для любой другой области. Будем пола­гать также, что поперечное распределение мощности в лазерном импульсе на расстоянии R на площади A_L(R) является однород­ным. В этом случае

(8)

и

(9)

Дополнительным упрощением является замена формы лазер­ного импульса, у которого интенсивность меняется от времени, на прямоугольную форму с продолжительностью τ_L. Тогда пре­делы интегрирования в уравнении (9) составят от c(t — τ_L )/2 до ct/2. Далее, так как интересующий нас путь луча в среде обычно значительно превышает длительность (длину) лазерного импульса cτ_L (иначе разрешение будет плохим), то для неболь­ших промежутков расстояния, в которых ведется интегрирова­ние, параметры, зависящие от расстояния, можно считать по­стоянными. Тогда полностью рассеянную мощность лазера, ре­гистрируемую фотоприемником за время t = 2R/c, можно выра­зить как

(10)

Для прямоугольного лазерного импульса продолжитель­ностью справедливо соотношение

(11)

где E_L — выходная энергия лазерного импульса, a T(λ_L, R)— коэффициент пропускания атмосферы на длине волны лазера для пути R. Из закона Беера — Ламберта следует, что коэффициенты пропускания равны

и

Здесь k(λ_L,R) и k(λ,R) являются коэффициентами ослабле­ния в атмосфере для лазерной и детектируемой длин волн соот­ветственно. Очевидно, что комбинация коэффициентов пропуска­ния дает выражение для общего коэффициента пропускания атмосферы:

(12)

Хотя мгновенная мощность, падающая на детектор, являет­ся ценной характеристикой, еще большее значение имеет при­ращение радиационной энергии на длине волны λ, регистрируе­мое детектором в интервале времени (t,t+τ_d), где τ_d — период интегрирования детектора, а t= 2R/c:

(13)

Объединение уравнений (10) — (13) позволяет получить выражение для рассеиваемой энергии лазера, регистрируемой за время отклика детектора т_d:

(14)

Его часто называют основным лидарным уравнением для рас­сеяния.