3.3. Заряд у заземлённой металлической сферы

Пусть имеется заряд q₁, расположенный на расстоянии x₁ от центра заземлённой проводящей сферы радиуса a (рис.8). Для того, чтобы найти поле, созданное вокруг сферы зарядом q₁ и поверхностными зарядами, индуцированными на сфере, применим метод электрических изображений.

Введём в рассмотрение заряд q₂, расположенный на расстоянии x₂ от центра сферы. Оба заряда совместно должны обеспечить нулевое значение потенциала на поверхности сферы. Определим величину и положение заряда q₂.

Рис.8. Изображение заряда относительно сферы

Потенциал, создаваемый в произвольной точке С на сфере зарядами q₁ и q₂ равен

, (25)

где , .

Для выполнения условия необходимо, чтобы

(26)

или . (27)

С учётом выражение (27) примет вид:

(28)

При перемещении точки С по сфере отношение (28) должно быть величиной постоянной, значит

(29)

Дифференцируя (28) по x_c, находим

(30)

Из (30) получаем , (31)

а после подстановки (31) в (28)

имеем . (32)

При этих положении и величине заряда q₂ система двух зарядов в свободном пространстве вне сферы и поле заряда у металлической сферы совпадают.

При расположении у металлической заземлённой сферы нескольких зарядов используется принцип суперпозиции. Необходимо лишь для каждого из заданных зарядов найти положение и величину его электрического изображения.

Программа POLE32 и работа с ней

Для расчётов полей скалярного электрического потенциала в рассмотренных выше задачах предназначена программа POLE32.EXE. Программа работает в среде Windows. Для установки в системах Windows ME, 2000, XP просто скопируйте указанный файл в рабочую папку. В системе Windows 9x может потребоваться дополнительный файл MSVBVM32.DLL. Предполагается, что поля рассчитываются в вакууме.

На экране монитора появляется меню выбора варианта задачи:

1 - Отдельные заряды; 2 - Заряды над плоскостью;

3 - Заряды и сфера; 4 - Заряды в угле.

Введите номер варианта:

Затем последовательно запрашиваются и вводятся параметры конкретной задачи: число зарядов, их величины и координаты, положение центра и радиус сферы или угол между плоскостями (45, 60, 90 градусов). Также задаются координаты левого нижнего угла экрана монитора и его длина по горизонтальной оси х. При вводе последних надо следить, чтобы на экране отображалась интересующая вас область поля.

По завершении ввода на тёмном экране отобразиться геометрия задачи. В верхней строке экрана отображаются координаты текущего положения курсора мыши и значение потенциала в этой точке.

При щелчке левой кнопкой мыши в любой точке экрана программа вычерчивает линию постоянного потенциала, проходящую через эту точку. По завершении построения линии на экране отображается эта линия, значение её потенциала и снова появляется курсор мыши. Число и местоположение линий постоянного потенциала не ограничено и определяется пользователем.

Программа позволяет корректировать картину поля на экране. Работа производится с каждой линией отдельно. Для этого необходимо выделить нужную линию: подводим к ней курсор (при этом курсор меняет вид с крестового на стрелку), фиксируем свой выбор нажатием левой кнопки мыши и клавишами работаем с изображением:

A (или левая кнопка мыши) - вставить/удалить линию;

S (или средняя кнопка мыши, колесо) - увеличить толщину линии;

D (или правая кнопка мыши) - уменьшить толщину линии;

1...6 - изменение толщины линии (1 - малое, 6 - большое);

F1 - справка;

Пробел - фильтрация изображения;

Esc - выход из программы.

Кроме того, в обновленную версию были добавлены следующие функции:

* возможность отключения звука (так как звук более не нужен для работы);

* подсказки;

* сохранение данных в файл и дальнейшая загрузка для повторной работы с ними;

* сохранение изображения в графический файл (меню «Экспорт»), а также возможность сохранения инвертированного (негативного) изображения (сделано для удобства просмотра, поставить флажок «Инвертировать изображение при экспорте»);

* кнопочное меню.

Для построения эквипотенциальных линий необходимо выполнить следующие действия:

1) Вставить нужные линии;

2) Отрегулировать их толщину так, чтобы они были непрерывными (меню «Толщина» для задания степени изменения толщины, средняя и правая кнопки мыши для увеличения/уменьшения толщины соответственно);

3) Запустить алгоритм фильтрации (кнопка «Начать фильтрацию»), который уберет излишнюю толщину линий;

4) Сохранить изображение (кнопка «Экспорт»).

Рассмотрим примеры работы с программой.