3. Метод зеркальных изображений

При решении ряда технических задач требуется найти электростатическое поле нескольких зарядов в присутствии металлических тел. При этом общее электростатическое поле определяется не только точечными зарядами, но и наведёнными поверхностными зарядами на металлических телах. Задача нахождения поверхностной плотности наведённых зарядов достаточно сложна. Однако, существует метод, позволяющий для ряда форм металлических тел найти электростатическое поле без нахождения . Суть метода заключается в замене исходной задачи задачей, где металлическое тело удалено, а влияние распределённого по его поверхности заряда учитывается введением фиктивных дополнительных точечных зарядов, величина и положение которых подбираются. Теорема единственности позволяет легко проверить правильность совершённой замены. В рассматриваемой области пространства должны выполняться уравнения электростатики (1), (4), а на границе поверхности удалённого металлического тела должны удовлетворяться граничные условия (6), (7).

Этот метод носит название метод электрических изображений. Рассмотрим его на примере задачи нахождения поля точечного заряда у бесконечной металлической плоскости.

3.1. Заряд у металлической плоскости

Пусть точечный заряд q расположен на высоте h над идеально проводящей плоскостью (рис.4а).

Рис.4. Точечный заряд над металлической плоскостью и

его зеркальное изображение

Если ввести фиктивный заряд –q, симметрично расположенный относительно плоскости (рис.4б) и убрать из рассмотрения металлическую плоскость, то поле в верхней части такой системы зарядов совпадает с полем системы заряд – плоскость. Действительно, граничные условия на бесконечности и расположение заряда в верхнем полупространстве неизменны, а граничные условия в плоскости симметрии системы двух зарядов совпадают с граничными условиями на металлической плоскости. В любой точке плоскости симметрии вследствие равенства расстояний до зарядов потенциалы, создаваемые зарядами равны по величине и противоположны по знаку. Плоскость симметрии, как и металлическая плоскость, имеет постоянный нулевой потенциал. Поля напряжённостей поля электрических зарядов в плоскости симметрии имеют равные и противоположные по знаку касательные составляющие. Суммарное поле, как и на металлической плоскости, имеет нулевую касательную составляющую.

В силу принципа суперпозиции такой поход можно использовать и при большем числе зарядов. Пусть над металлической плоскостью расположено несколько зарядов (рис.5). Для каждого из зарядов введём зеркально отображённый фиктивный заряд и найдём поле скалярного электрического потенциала в такой системе.

Рис.5. Заряды над плоскостью и их зеркальные изображения

Если в исходной задаче мы имели n зарядов, то после введения фиктивных зарядов и изъятия металлической плоскости xOz получаем 2n зарядов.

Тогда потенциал в произвольной точке M(x,y)

, (22)

где , . (23)

3.2. Заряд в металлическом угле

Метод электрических изображений применим и при определении поля точечного заряда, расположенного внутри металлического угла, образованного двумя пересекающимися плоскостями. Для угла между плоскостями геометрия задачи приведена на рисунке 6. Заряд q₁ отображаем вокруг обеих сторон угла.

Рис.6. Заряд в металлическом угле 90⁰

При зеркальном отображении относительно плоскости xOz получаем заряд q₂=-q₁ в точке (x₁,-y₁). При зеркальном отображении относительно плоскости yOz получаем заряд q₃=-q₁ в точке (-x₁,y₁). Для обеспечения симметрии зарядов относительно обеих плоскостей необходимо отобразить оба фиктивных заряда вокруг продолжений плоскостей. При этом попадаем в одну точку (-x₁,-y₁), где помещаем заряд q₄=q₁.

В системе из таких четырёх зарядов в плоскостях симметрии будем иметь постоянный нулевой потенциал. В пределах первого квадранта поле четырёх зарядов и поле одного заряда в металлическом угле совпадают.

Скалярный электрический потенциал U в точке M(x,y) равен

, (24)

где ,

,

,

.

Решение таким методом возможно, если угол между плоскостями , где n=1,2,3…. При этом получаем конечную систему зарядов.

Рис.7. Заряд в металлическом угле 60⁰

Так для имеем систему из 4 зарядов (1 реальный и 3 фиктивных заряда), для имеем систему из 6 зарядов (1 реальный и 5 фиктивных заряда, рис.7), для имеем систему из 8 зарядов (1 реальный и 7 фиктивных заряда).

Координаты положения фиктивных зарядов находятся из геометрии задачи. При n=1 имеем предыдущий вариант заряда над плоскостью. При система отображений фиктивных зарядов никогда не замкнётся и станет бесконечной.