Двойной интеграл в полярных координатах.

Декартова и полярная системы координат связаны следующими отношениями:

Где - это радиус- вектор точки - угол, который образует радиус- вектор с положительным направлением оси (отсчет ведется против хода часовой стрелки).

Вычислим Якобиан преобразования декартовых координат в полярные

Следовательно,

Рассмотрим возможные варианты областей и . Пусть, например, ограничена двумя кривыми, полярные уравнения которых и непрерывные функции, причем

(Рис.3) (Рис.4)

и двумя полупрямыми, выходящими из начала координат под углами и к оси

Построим на плоскости соответствующую область .

Те же пределы можно получить с помощью Рис 3, рассуждая так. У внешнего интеграла пределами являются: наименьшее и наибольшее значения полярного угла для точек области . Для внутреннего интеграла имеем На плоскости точки, у которых располагаются на полупрямой, выходящей из начала под углом к оси Так как полярная координата точки означает расстояния этой точки от начала , то нижний и верхний пределы внутреннего интеграла равны соответственно расстоянию от начала самой близкой и самой далекой точки области лежащей на проведенном луче . Эти расстояния равны и