Свойства двукратных интегралов.
Если стандартную в направлении оси область разбить на две области и прямой, параллельной оси или оси , то двукратный интеграл по области будет равен сумме таких же интегралов по области и , то есть:
(Оценка двукратного интеграла). Пусть и - наименьшее и наибольшее значение функции в области Обозначим через площадь области Тогда имеет место соотношение
(Теорема о среднем) Двукратный интеграл от непрерывной функции по области с площадью равен произведению площади на значение функции в некоторой точке области , то есть:
Теорема:
Двойной интеграл от непрерывной функции по стандартной области равен двукратному интегралу от
1) Область разобьем прямыми, параллельными осям координат на правильных (прямоугольных) областей:
2) По свойству : (2)
3) По свойству (теорема о среднем) каждое слагаемое справа преобразуем:
4) Тогда (2) примет вид: , где - некоторая точка области
Справа стоит интегральная сумма для по области По теореме о существовании двойного интеграла следует: или
Изменение порядка интегрирования в двукратном интеграле.
Рассмотрим
Изменение порядка интегрирования означает преобразование данного двукратного интеграла к такому, в котором внутренний интеграл считается по переменной а внешний по .Эту задачу в некоторой степени можно считать обратной для той, которая решалась раньше. Там по заданной области находились пределы интегрирования двукратного интеграла. Здесь по пределам двукратного интеграла следует восстановить область , а затем записать двукратный интеграл по с другим порядком интегрирования.
Пример 2 Изменить порядок интегрирования .
Решение:
Здесь область интегрирования ограничена прямыми Она представляет собой трапецию.
При интегрировании в другом порядке, вначале по , необходимо разбить область прямой , параллельной , на две части, так как нижняя линия граница этой области состоит из двух частей и , которые имеют различные уравнения: Вследствие этого и интеграл при изменении порядка интегрирования будет равен сумме двух интегралов:
Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов (двукратное интегрирование).
Геометрический смысл двойного интеграла.
Пусть область - простая односвязная область на плоскости . Пусть .
Геометрически определяет объем цилиндрического тела, в основании которого находится область , боковой поверхностью является цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси , которая сверху ограничена поверхностью .
Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть в плоскости дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что координаты и являются функциями новых переменных U и V;
х = , = (1)
Формулы (1) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между точками области D и ( плоскость OUV).
Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y)
Каждому значению функции z = f(x,y) в области D соответствует то же самое значение функции z =F(U,V) в области , где Рассмотрим интегральные суммы от функции по области . Очевидно, имеет место следующее равенство: (2)
Вычислим , то есть площадь криволинейного четырехугольника в плоскости (Рис1).
Определим координаты его вершин:
(3)
При вычислении площади криволинейного четырехугольника будем считать линии попарно параллельно прямыми; кроме того приращения функций будем заменять соответствующими дифференциалами. Таким образом, мы будем пренебрегать бесконечное множество Тогда формулы (3) будут иметь вид:
(4)
При сделанных допущениях криволинейный треугольный четырехугольник можно рассматривать как параллелограмм. Его площадь приближенно равна удвоенной площади и находится по формуле аналитической геометрии:
- функциональный определитель(Якобиан)
Тогда на основании (2)
Переходя к пределу при получим такое равенство: (5)
Эта формула преобразования координат в двойном интеграле.