Лекция 9 (II сем.)
Интегральные операции в многомерных пространствах.
Кратные (двойные, тройные), криволинейные и поверхностные интегралы, как и обыкновенные (однократные) определенные интегралы, служат для вычисления различных величин. Все эти указанные интегралы определяются вполне аналогично и отличаются друг от друга в основном лишь областью интегрирования. Если вычисление однократного интеграла происходит на отрезке изменения одной переменной, то кратные, криволинейные и поверхностные интегралы рассматриваются в плоской области изменения двух переменных, или в пространственной области изменения трех переменных, или вдоль некоторой кривой, или по некоторой поверхности.
Двойной интеграл.
Пусть - любая функция, непрерывная в некоторой замкнутой области плоскости .
1) Разобьем область произвольно на элементарных областей, не имеющих общих внутренних точек, и обозначим их площади, а диаметры через (где - максимальное расстояние между двумя точками на границе области ). Пусть - наибольший из диаметров.
2) Выберем в каждой частичной области по произвольной точке и составим сумму вида:
(1)
Где - значение функции в точке и называется интегрируемой суммой для функции по области .
Интеграл Римана по квадрируемой области.
Определение:
Если существует предел при интегральных сумм (1), то этот предел называется интегралом Римана от функции по области и обозначается
Какие же области квадрируемы? Область называется простой, если ее граница состоит из конечного числа замкнутых контуров каждой из которых является непрерывной кусочно-гладкой замкнутой кривой, не имеющей самопересечений. (Мы говорим, что кривая является кусочно-гладкой, если она непрерывна и состоит из конечного числа частей таких, что на каждой - уравнение кусочно-гладкой кривой, то вектор - кусочно-непрерывен). Всякая простая область квадрируема.
Интегрируемость непрерывных и кусочно-непрерывных функций.
Непрерывная и ограниченная в замкнутой области функция равномерно непрерывна в ней, то есть для , что для точек и , таких, что выполняется:
Определение:
Функцию будем называть кусочно-непрерывной в области , если область можно разбить на конечное число частей таких, что в каждой открытой области функция будет равномерно непрерывной.
Имеем следующее предположение: функция , кусочно-непрерывная в квадрируемой области , интегрируема по этой области.
Основные свойства двойных интегралов.
Предположение, сделанное выше есть простое следствие следующего свойства интеграла Римана по области : если функция интегрируема в областях и , то она интегрируема и в объединении этих областей; при этом, если области и не имеют общих внутренних точек, то: .
Двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов от всех слагаемых: .
Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла: .
Сведение интеграла по области к повторному.
Пусть всякая прямая параллельная оси и пересекающая область , имеет с ее границами не более двух общих точек. Прямые и касаются границ области в точке и граница разбивается на две линии и , каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси , одной точке, тогда (такая область называется стандартной (правильная) относительно оси ):
уравнение
уравнение
Выражение будем называть двойным интегралом от функции по области .
Если рассматривать прямую пересекающую область в точке входа имеющую ординату в точке выхода, имеющую ординату тогда , где и - соответственно наибольшие и наименьшие значения переменной
Вычисления двукратного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, сначала вычисляется внутренний интеграл, считая одну из переменных постоянной, а результат интегрируется по внешней переменной.
Пример1. Вычислить
Решение: Сначала вычисляем внутренний интеграл, где является переменной, а постоянная: