4. Методы упрощенного вычисления статистических характеристик распределения

Если x_i — двух- и трехзначные числа, то вычисление величин , σ, А и Е значительно упрощается благодаря применению специального приема. Середины интервалов статистического распределения выражаются в условных единицах t, в которых и ведутся все вычисления. Результаты расчетов переводятся в исходные величины. Величина t_i рассчитывается по формуле

(4.1)

где а — середина центральной градации, т. е. той градации, в которую по предварительной оценке входит средняя величина; b —величина градации.

Статистические характеристики величины х связаны с аналогичными характеристиками t следующими соотношениями:

(4.2)

(4.3)

A_x=A_t (4.4)

E_x=E_t (4.5)

(4.6)

Таблица 4.1

Рабочая таблица для вычисления основных характеристик распределения

методом моментов

Исходные данные			Рассчитанные величины
Интервал, м/с	Середина интервала xi	Число случаев mi	ti	timi	(timi)2	(timi)3	(timi)4
1,5—4,5	3	6	-3	-18	54	-162	486
4,5—7,5	6	51	-2	-102	204	-408	816
7,5‑‑10,5	9	66	-1	-66	66	-66	66
10,5—13,5	12	106	0	0	0	0	0
13,5—16,5	15	92	1	92	92	92	92
16,5—19,5	18	73	2	146	292	584	1 168
19,5—22,5	21	48	3	144	432	1296	3 888
22,5—25,5	24	42	4	168	672	2 688	10 752
25,5—28,5	27	20	5	100	500	2 500	12 500
28,5—31,5	30	21	6	126	756	4 336	27216
31,5‑‑34,5	33	9	7	63	441	3 087	21 649
34,5—37,5	36	5	8	40	320	2 560	20 430
37,5—40,5	39	4	9	36	324	2916	26 244
40,5—43,5	42	2	10	20	200	2 000	20 000
Σ		545		755	4353	21623	145 317

Приведем примеры расчета статистических характеристик одномерного и двумерного распределений. В табл. 4.1 содержится распределение скорости ветра на высоте I км, по которому вычисляются статистические характеристики.

В нашем примере а = 12 м/с, b = 3 м/с. Определим статистические характеристики в условных единицах:

Тогда,

=3·1.38+12=16.15;

Σ=3·2.47=7.41;

A_x =0.78;

E_x =0.44.

В случае двумерного распределения вводятся две вспомогательные величины t_x и t_y для двух компонент двумерной величины.

Характеристики для х ( , σ_x, A_х, Е_х) и у ( , σ_у, A_у, E_у) определяются способом, описанным выше. Коэффициент корреляции r_ху равен коэффициенту корреляции между вспомогательными переменными t_x и t_y , т.ее r_xy =

В табл. 4.2 представлено двумерное распределение температуры воздуха в Ленинграде и Кронштадте. В таблице цифры, выделенные курсивом, представляют собой частоты двумерного распределения. Полужирными линейками выделены графа и строка центральных градаций. Середины градаций температуры воздуха как Ленинграда (х), так и Кронштадта (у), выражены в условных единицах t_x и t_y;

где а и с— середины центральных градаций для х и у, b и d- значения градаций для х и у; а = 17,55, с = 16,55, b = d = l.

Таблица 4.2

Поскольку формула коэффициента корреляции для t_x и t_y может быть записана в виде

(4.8)

(4.9)

то для расчета коэффициента корреляции необходимо, прежде всего, вычислить величину t_xt_y. Остальные характеристики вычисляются так, как было показано выше.

Вычисления величины начинаются с расчета произведений . для каждой клетки таблицы, в которой представлены значения частот m_ij. Значения произведения выделены в табл. 4.2 курсивом. Полужирными линейками, выделяющими графу и строку центральных градаций, таблица делится на четыре четверти. В I и IV четвертях произведения положительны, во II и III четвертях — отрицательны.

Схема дальнейших вычислений показана в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Число случаев t_x t_y

txty	I + IV	II + Ш	(I+ IV)-(II+ III)	txty [(I + IV)-(II + III)]
1	8		8	8
2	22	—	22	44
3	4	—	4	12
4	4	__	4	16
6	13	—	13	78
9	2	—	2	16
9	2	­_	2	18
12	2	—	2	24
15	3	—	3	45
16	1	-	1	16
20	I	-	1	20
Σ				297

Одномерные характеристики по t_x и t_y равны

Тогда с учетом (4.8) получим

Если вычисления выполняются на ЭВМ и в распоряжении климатолога имеются исходные ряды наблюдений, то для расчета используются формулы (4.8) и (4.9).