Определение передаточной функции объекта регулирования по экспериментальной переходной функции методом «площадей»

Построение математической модели линейной системы по экспериментальной переходной функции производится в следующем порядке:

1. на основании формы переходной функции и в зависимости от физических свойств исследуемой системы устанавливается вид передаточной функции модели;

2. определяются значения коэффициентов передаточной функции на условия наилучшего приближения модели объекта;

3. производится оценка точности аппроксимации.

Одним из наиболее простых и удобных для счета на ЦВМ методов аппроксимации переходных процессов является метод «площадей» (программа 1)

Рассмотрим функцию h(t), которая получена из экспериментальной переходной функции объекта путём исключения чистого запаздывания и нормировки. Пусть h(o)= (o)=0

При аппроксимации функции h(t) на практике обычно задаются следующими структурами передаточной функции модели:

(1.1)

(1.2)

; (1.3)

Выражение , обратное передаточной функции модели, можно разложить в ряд по степеням P

= (1.4)

Очевидно, что для модели

1)

для модели (1.2) для модели (1.3) коэффициенты , I = 1, 2, 3 связаны с коэффициентами разложения (1.4) системой уравнений

, , (1.5)

, 0= .

Для определения воспользуемся связью между S и некоторыми функциями от (1-h). Величину L(1-h) можно представить так:

.

Отсюда ,

или . 1.6

Разложим функцию в ряд по степеням pt

1.7

(1.8)

Из выражения (1.8) следует, что цоэффициенты Si связаны с переходной функцией h(t) соотношениями:

Моментом i-го порядка функции 1-h(t) называется несобственный интеграл:

(1.9)

тогда формулу можно преобразовать:

,

(1.10)

Таким образом, определив по графику h(t) значения Mi методом численного интегрирования [I] и вычислив из соотношений величины «площадей» Si, нетрудно найти значение коэффициентов передаточной функции моделей (1.1)+(1.3).

Выбор вида передаточной функции модели производится из следующих соображений: если коэффициенты S1,S2,S3 положительны, то в зависимости от вида функции h(t) задаются моделью (1.1) или (1.2). Если хоть один из них отрицателен, задаются моделью (1.3).

Перед обращением к программе из экспериментальной кривой разгона необходимо выделить время чистого запаздывания ϊ, затем провести дискретизацию по времени с шагом ∆t и нормировку. Шаг квантования по времени выбирается таким, чтобы на интервале между двумя соседними отсчетами переходная функция была близка к прямой.

Приведение кривой разгона к нормированному, то есть безразмерному виду осуществлиется с помощью формулы

. (1.11)

Пример.

Рассчитать и исследовать систему автоматического регулирования температуры пароагрегатной смеси (ПАС), рис 1.1.

Исходные данные

Канал регулирующего воздействия изменения задачи регулятору на °С- кривая разгона объекта

t,мин	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	5
0°С	38	38,2	38,4	38,6	38,9	39,3	40	40,5	40,9

4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5
41,2	41,5	41,8	41,9	41,9	42	42

Канал возмущающего воздействия (изменение расхода сырья на 20% хода регулирующего органа) – передаточная функция объекта в виде апериодического звена 1 порядка

к=0,2°С/% хода р.о. Т=1,7 мин.

Проведем нормировку кривой разгона. Дискретизацию по времени выберем ∆t=5. Нормированная переходная функция приведена на рис. 1.2.

После обращения к СП вычисления цоэффициентов передаточной функции методом «площадей», на основании полученных результатов зададимся моделью (1.2), т.е. окончательно