- •Множества n,z,q,r
- •Числовые промежутки
- •Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
- •Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
- •Числовая функция
- •Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
- •Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
- •Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
- •Формула Муавра
- •Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
- •Многочлены в комплексной области. Условие
- •Основная теорема алгебры (т. Гауса)
- •Деление многочленов. Частное и остаток
- •Теорема Безу и её следствие
- •Кратность корня. Простые и кратные корни
- •Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
- •Последовательность, её геометрическое изображение.
- •Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
- •Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Расходящиеся последовательности.
- •Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
- •Число е. Натуральные логарифмы.
- •Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
- •Первый замечательный предел.
- •Односторонние пределы.
- •Предел функции при х→±∞.
- •Второй замечательный предел. Следствия.
- •Замечательный логарифмический предел
- •Замечательный показательный предел
- •Замечательный степенной предел
- •Функция, ограниченная на данном множестве.
- •Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
- •Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
- •Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- •Бесконечно большая функция.
- •Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
- •Непрерывность функции на промежутке.
- •Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Точки разрыва функции и их квалификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
- •Определение производной.
- •Механический смысл производной.
- •Определение дифференцируемой (в точке) функции.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
- •Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
- •Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
- •Односторонние производные.
- •Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
- •Геометрический смысл производной
- •Бесконечная производная и вертикальная касательная.
- •Правила дифференцирования (теоремы).
- •Вычисление производных основных элементарных функций
- •Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
- •Неявная функция и её дифференцирование.
- •Приближенное вычисление приращения функции.
- •Производные высших порядков.
- •Механический смысл 2 производной.
- •Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
- •Производная вектор-функции.
Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0, такое, что |f(x)-A|<ε, для всех х, удовлетворяющих условию |х-а|<δ, х≠а. Обозначение limx→аff(x) = А. у
У=f(x)
А+ε
А
А-ε
А-δ а а+δ х
Первый замечательный предел.
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(из : | LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Односторонние пределы.
Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (или пределом справа).
Предел функции при х→±∞.
Пусть ф-ция f(x) определена при |х|>b, где b некоторое положительное число. Число А называется пределом ф-ции f(x) при x, стремящемся к ∞, если для любого ε>0 существует N=N(ε)>0, такое, что |f(x)-A|<ε, для всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>N. Обозначение limx→∞f(x) = A. В частности, если неравенство |f(x)-A|<ε выполняется только для x>N (или только для х<-N), то пишут limx→∞f(x) = A (соответственно, limx→-∞f(x) = A).
Второй замечательный предел. Следствия.
Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая , получим:
(1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывет, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для любого x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [x] - это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.
Следствия
Доказательство следствия
Следствия из второго замечательного предела: